На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно учетверённой… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2026 развёрнутое

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно учетверённой сумме цифр первого, а третье равно учетверённой сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2025?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2026?

в) Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно 16.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим числа на доске через $x, y, z$ , а сумму цифр числа — через $S (\cdot)$ . По условию $y = 4 S (x)$ и $z = 4 S (y)$ .

а) Да, может. Например, $x = 1941$ , $y = 60$ , $z = 24$ . Проверим:

$4 \cdot S (1941) = 4 \cdot (1 + 9 + 4 + 1) = 4 \cdot 15 = 60, 4 \cdot S (60) = 4 \cdot (6 + 0) = 4 \cdot 6 = 24, 1941 + 60 + 24 = 2025.$

Числа натуральные и различные, все условия выполнены.

б) Воспользуемся признаком делимости на $3$ в усиленной форме: число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на $3$ (так как $10, 100, 1000, \dots$ дают остаток $1$ при делении на $3$ ).

Тогда $S (x)$ даёт тот же остаток, что и $x$ . Число $y = 4 S (x) = 3 S (x) + S (x)$ отличается от $S (x)$ на кратное $3$ , значит, $y$ даёт тот же остаток при делении на $3$ , что и $x$ . Точно так же $z = 4 S (y)$ даёт тот же остаток, что и $y$ .

Итак, все три числа дают при делении на $3$ одинаковый остаток $r$ , и их сумма даёт тот же остаток, что и $3 r$ , то есть делится на $3$ . Но сумма цифр числа $2026$ равна $10$ , поэтому $2026$ на $3$ не делится. Значит, сумма $2026$ невозможна.

в) Пусть $z = 16$ . Тогда $4 S (y) = 16$ , то есть $S (y) = 4$ .

Найдём возможные $y$ . Число $x$ четырёхзначное, поэтому $1 ⩽ S (x) ⩽ 9 \cdot 4 = 36$ , и $y = 4 S (x)$ — кратное $4$ число, не превосходящее $4 \cdot 36 = 144$ . Числа, не большие $144$ , с суммой цифр $4$ :

$4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130.$

Из них на $4$ делятся только $4$ , $40$ и $112$ . Значит, $S (x) = \frac{y}{4}$ равно $1$ , $10$ или $28$ .

Обратно, если у четырёхзначного $x$ сумма цифр равна $1$ , $10$ или $28$ , то $y$ равно $4$ , $40$ или $112$ соответственно, а $z = 4 \cdot 4 = 16$ . Числа $x, y, z$ различны: $x ⩾ 1000$ больше $y$ и $z$ , а $y \neq = 16$ . Поэтому нужно посчитать четырёхзначные числа с суммой цифр $1$ , $10$ и $28$ .

Сумма цифр $1$ : такое четырёхзначное число одно — $1000$ .

Сумма цифр $10$ . Пусть $x = ab c d$ , $a ⩾ 1$ . Разобьём цифры на две пары: пусть $a + b = p$ , тогда $c + d = 10 - p$ . Две цифры с суммой $s$ можно выбрать $s + 1$ способом при $0 ⩽ s ⩽ 9$ (первая цифра от $0$ до $s$ ) и $19 - s$ способами при $9 ⩽ s ⩽ 18$ (первая цифра от $s - 9$ до $9$ ). Для пары $(a; b)$ цифра $a$ не может быть нулём, поэтому способов на один меньше при $p ⩽ 9$ : ровно $p$ способов. При $p = 10$ цифра $a$ от $1$ до $9$ , это $9$ способов. Составим таблицу:

$a + b 12345678910 c + d 9876543210 способов для a, b 1234567899 способов для c, d 10987654321 чисел 1018242830302824189$

Всего чисел с суммой цифр $10$ :

$10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18 + 9 = 219.$

Сумма цифр $28$ . Снова $a + b = p$ , $c + d = 28 - p$ . Сумма двух цифр не больше $18$ , поэтому $p ⩽ 18$ и $28 - p ⩽ 18$ , то есть $10 ⩽ p ⩽ 18$ . Для пары $(a; b)$ при $p ⩾ 10$ обе цифры уже не нули, способов $19 - p$ . Для пары $(c; d)$ сумма $28 - p ⩾ 10$ , способов $19 - (28 - p) = p - 9$ :

$a + b 101112131415161718 c + d 181716151413121110 способов для a, b 987654321 способов для c, d 123456789 чисел 9162124252421169$

Всего чисел с суммой цифр $28$ :

$9 + 16 + 21 + 24 + 25 + 24 + 21 + 16 + 9 = 165.$

Итого первым числом может быть

$1 + 219 + 165 = 385$

четырёхзначных чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) $385$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20