ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Запишем трёхзначное число в виде $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a,b,c$ — цифры и $a\ne 0$. Сумма его цифр равна $a+b+c$, поэтому в результате операции получается

$$\frac{(100a+10b+c)-(a+b+c)}{3}=\frac{99a+9b}{3}=33a+3b.$$

Сделаем два вывода: результат всегда целый и не зависит от последней цифры $c$.

а) Нужно, чтобы $33a+3b=240$, то есть $11a+b=80$, откуда $b=80-11a$. Цифра $b$ лежит от $0$ до $9$, поэтому $71⩽11a⩽80$, и подходит только $a=7$, тогда $b=3$. Возьмём, например, число $730$. Сумма его цифр равна $7+3+0=10$, и

$$\frac{730-10}{3}=\frac{720}{3}=240.$$

Значит, могло.

б) Результат операции равен $33a+3b=3(11a+b)$, то есть всегда делится на $3$. Число $163$ на $3$ не делится: сумма его цифр $1+6+3=10$ не делится на $3$. Значит, $163$ получиться не могло.

в) Результат $3(11a+b)$ определяется только парой первых двух цифр $(a;b)$. Посчитаем, сколько таких пар у чисел от $100$ до $700$. У чисел от $100$ до $699$ первая цифра $a$ принимает значения от $1$ до $6$, а $b$ — любые значения от $0$ до $9$: это $6\cdot 10=60$ пар. Ещё одна пара $(7;0)$ даёт число $700$. Всего $61$ пара, поэтому различных результатов не больше $61$.

Покажем, что разные пары дают разные результаты. Пусть пары $(a;b)$ и $(x;y)$ дают одно и то же число:

$$33a+3b=33x+3y\iff 11(a-x)=y-b.$$

Левая часть делится на $11$. Справа стоит разность двух цифр, она по модулю не больше $9$, поэтому делится на $11$ только в случае $y-b=0$. Тогда и $11(a-x)=0$, то есть $a=x$ и $b=y$ — пары совпадают.

Значит, все $61$ пара дают попарно различные результаты, и различных чисел получается ровно $61$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $61$.