Последовательность a₁, a₂, …, an, где n≥3, состоит из натуральных… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Последовательности и прогрессии сложная 2016 развёрнутое

Последовательность $a_{1},$ $a_{2},$ …, $a_{n},$ где $n ⩾ 3,$ состоит из натуральных чисел. При этом каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних с ним членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n = 8 ?$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Сначала перепишем условие в удобном виде. Для каждого члена $a_{i}$ , кроме первого и последнего, дано

$a_{i} > \frac{a _{i - 1} + a _{i + 1}}{2} .$

Умножим обе части на $2$ и перенесём слагаемые:

$2 a_{i} > a_{i - 1} + a_{i + 1} \Leftrightarrow a_{i} - a_{i - 1} > a_{i + 1} - a_{i} .$

Обозначим разности соседних членов через $d_{i} = a_{i + 1} - a_{i}$ , где $i = 1, 2, \dots, n - 1$ . Тогда условие задачи равносильно цепочке

$d_{1} > d_{2} > \dots > d_{n - 1} .$

Все разности — целые числа, поэтому каждая следующая разность меньше предыдущей хотя бы на $1$ . Отсюда при $i < j$ получаем

$d_{i} - d_{j} = (d_{i} - d_{i + 1}) + (d_{i + 1} - d_{i + 2}) + \dots + (d_{j - 1} - d_{j}) ⩾ j - i,$

так как в сумме $j - i$ скобок и каждая не меньше $1$ .

а) Начнём с пяти одинаковых чисел с суммой $60$ :

$12, 12, 12, 12, 12.$

Здесь каждый средний член равен среднему арифметическому соседей, а нужно, чтобы был больше. Подправим числа, не меняя суммы: отнимем по $2$ у крайних членов (всего отняли $4$ ), добавим $2$ к центральному члену и по $1$ ко второму и четвёртому (всего добавили $4$ ). Получим

$10, 13, 14, 13, 10.$

Проверим все условия. Все числа натуральные, их сумма $10 + 13 + 14 + 13 + 10 = 60$ . Средние члены:

$13 > \frac{10 + 14}{2} = 12, 14 > \frac{13 + 13}{2} = 13, 13 > \frac{14 + 10}{2} = 12.$

То же видно по разностям: $3, 1, - 1, - 3$ — они строго убывают.

б) Да, может. Последовательность $10, 13, 14, 13, 10$ из пункта а) состоит из пяти членов, удовлетворяет условию (это проверено выше) и содержит два одинаковых числа: $a_{1} = a_{5} = 10$ (и ещё $a_{2} = a_{4} = 13$ ).

в) Пусть $n = 8$ , а $d_{1} > d_{2} > \dots > d_{7}$ — разности соседних членов.

Оценка. Разобьём члены на пары, симметричные относительно середины: $(a_{1}; a_{8})$ , $(a_{2}; a_{7})$ , $(a_{3}; a_{6})$ , $(a_{4}; a_{5})$ . Левые члены пар выразим через $a_{1}$ и разности, идущие слева, а правые — через $a_{8}$ и разности, идущие справа:

$a_{2} = a_{1} + d_{1}, a_{3} = a_{1} + d_{1} + d_{2}, a_{4} = a_{1} + d_{1} + d_{2} + d_{3}, a_{7} = a_{8} - d_{7}, a_{6} = a_{8} - d_{6} - d_{7}, a_{5} = a_{8} - d_{5} - d_{6} - d_{7} .$

Сложим члены каждой пары:

$a_{2} + a_{7} a_{3} + a_{6} a_{4} + a_{5} = a_{1} + a_{8} + (d_{1} - d_{7}), = a_{1} + a_{8} + (d_{1} - d_{7}) + (d_{2} - d_{6}), = a_{1} + a_{8} + (d_{1} - d_{7}) + (d_{2} - d_{6}) + (d_{3} - d_{5}) .$

По доказанному свойству разностей $d_{1} - d_{7} ⩾ 6$ , $d_{2} - d_{6} ⩾ 4$ , $d_{3} - d_{5} ⩾ 2$ . Кроме того, $a_{1} ⩾ 1$ и $a_{8} ⩾ 1$ , так как числа натуральные, то есть $a_{1} + a_{8} ⩾ 2$ . Поэтому

$a_{1} + a_{8} ⩾ 2, a_{2} + a_{7} ⩾ 2 + 6 = 8,$

$a_{3} + a_{6} ⩾ 2 + 6 + 4 = 12, a_{4} + a_{5} ⩾ 2 + 6 + 4 + 2 = 14.$

Складывая, получаем, что сумма всех восьми членов не меньше

$2 + 8 + 12 + 14 = 36.$

Пример. Все неравенства обращаются в равенства, если $a_{1} = a_{8} = 1$ , а разности — подряд идущие целые числа. Возьмём разности $3, 2, 1, 0, - 1, - 2, - 3$ и начнём с $a_{1} = 1$ :

$1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1.$

Проверим условие для всех средних членов:

$4 > \frac{1 + 6}{2} = 3, 5, 6 > \frac{4 + 7}{2} = 5, 5, 7 > \frac{6 + 7}{2} = 6, 5,$

$7 > \frac{7 + 6}{2} = 6, 5, 6 > \frac{7 + 4}{2} = 5, 5, 4 > \frac{6 + 1}{2} = 3, 5.$

Все числа натуральные, а их сумма равна $1 + 4 + 6 + 7 + 7 + 6 + 4 + 1 = 36$ . Значит, наименьшая сумма равна $36$ .

Ответ: а) например, $10, 13, 14, 13, 10$ ; б) да; в) $36$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20