На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2024 развёрнутое

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1782. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5,5 раза меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $n$ чисел $a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}$ , где все цифры $a_{i}$ и $b_{i}$ — от $1$ до $9$ (нулей нет). Число $a_{i} b_{i} = 10 a_{i} + b_{i}$ после перестановки цифр становится числом $10 b_{i} + a_{i}$ . Обозначим суммы цифр десятков и единиц:

$A = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}, B = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} .$

Тогда сумма исходных чисел $S_{1} = 10 A + B = 1782$ , а сумма новых чисел $S_{2} = 10 B + A$ . Каждая цифра не меньше $1$ и не больше $9$ , поэтому

$n ⩽ A ⩽ 9 n, n ⩽ B ⩽ 9 n . (*)$

В частности, $A ⩽ 9 n ⩽ 9 B$ .

а) Новая сумма должна быть равна $1782 : 3 = 594$ . Решим систему

${10 A + B = 1782, A + 10 B = 594.$

Умножим второе уравнение на $10$ и вычтем первое: $99 B = 5940 - 1782 = 4158$ , откуда $B = 42$ и $A = 594 - 10 \cdot 42 = 174$ .

Подберём числа с такими суммами цифр. Сумму единиц $42$ дадут $42$ числа с цифрой единиц $1$ . Сумма десятков $174 = 33 \cdot 5 + 9 \cdot 1$ : у $33$ чисел десятки $5$ , у $9$ чисел — $1$ .

Пример: $33$ числа $51$ и $9$ чисел $11$ . Проверка:

$33 \cdot 51 + 9 \cdot 11 = 1683 + 99 = 1782, 33 \cdot 15 + 9 \cdot 11 = 495 + 99 = 594 = \frac{1782}{3} .$

б) Нет, не могла. Тогда новая сумма была бы равна $1782 : 5, 5 = 324$ :

${10 A + B = 1782, A + 10 B = 324.$

Умножим второе уравнение на $10$ и вычтем первое: $99 B = 3240 - 1782 = 1458$ . Но $1458$ на $99$ не делится ( $99 \cdot 14 = 1386$ , $99 \cdot 15 = 1485$ ), а $B$ — целое число. Противоречие.

в) Выразим новую сумму через $A$ . Из равенства $10 A + B = 1782$ получаем $B = 1782 - 10 A$ , поэтому

$S_{2} = 10 B + A = 10 (1782 - 10 A) + A = 17820 - 99 A .$

Новая сумма тем меньше, чем больше $A$ .

Оценка. По $(*)$ $A ⩽ 9 B$ , то есть

$A ⩽ 9 (1782 - 10 A) \Leftrightarrow 91 A ⩽ 16038 \Leftrightarrow A ⩽ \frac{16038}{91} = 176 \frac{22}{91} .$

Так как $A$ целое, $A ⩽ 176$ . Тогда

$S_{2} = 17820 - 99 A ⩾ 17820 - 99 \cdot 176 = 17820 - 17424 = 396.$

Пример. При $A = 176$ получаем $B = 1782 - 1760 = 22$ . Возьмём $22$ числа с цифрой единиц $1$ ; сумма десятков $176 = 22 \cdot 8$ , значит, у всех десятки равны $8$ . Это $22$ числа $81$ . Проверка:

$22 \cdot 81 = 1782, 22 \cdot 18 = 396.$

Ответ: а) например, $33$ числа $51$ и $9$ чисел $11$ ; б) нет; в) $396$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20