ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Заметим, что ход всегда возможен и определён однозначно: если $a>b$ — натуральные числа, то $a+b>a-b⩾1$, и новая пара снова состоит из натуральных чисел, первое из которых больше второго.

а) Да, можно:

$$(150;7)⟶(157;143)⟶(300;14)⟶(314;286)⟶(600;28).$$

Проверим каждый ход: $150+7=157$, $150-7=143$; $157+143=300$, $157-143=14$; $300+14=314$, $300-14=286$; $314+286=600$, $314-286=28$. Большее число в последней паре равно $600$.

б) Нет, нельзя. Сделаем с парой $(a;b)$ два хода подряд:

$$(a;b)⟶(a+b;a-b)⟶((a+b)+(a-b);(a+b)-(a-b))=(2a;2b).$$

Каждый ход определён однозначно, поэтому из $(150;7)$ получается единственная цепочка пар. После $2k$ ходов получается пара $(2^k\cdot 150;2^k\cdot 7)$. После первого хода получается $(157;143)$, поэтому после $2k+1$ ходов — пара $(2^k\cdot 157;2^k\cdot 143)$.

Значит, большее число в любой полученной паре имеет вид $2^k\cdot 150=2^{k+1}\cdot 75$ или $2^k\cdot 157$. Но $1224=2^3\cdot 153$, а нечётные множители $75$, $157$ и $153$ различны. Поэтому $1224$ не может быть большим числом пары, и пару $(1224;1190)$ получить нельзя.

в) Научимся восстанавливать пару по результату хода. Если из $(a;b)$ получилась пара $(c;d)$, то $a+b=c$, $a-b=d$, откуда

$$a=\frac{c+d}{2},b=\frac{c-d}{2}.$$

Значит, предыдущая пара определяется однозначно (если она существует). Кроме того, числа $a+b$ и $a-b$ отличаются на чётное число $2b$, поэтому после любого хода оба числа пары одной чётности. Пару из чисел разной чётности получить ходом нельзя.

Восстановим цепочку с конца.

1. Пару $(1224;1190)$ можно получить только из пары $\left(\frac{1224+1190}{2};\frac{1224-1190}{2}\right)=(1207;17)$.

2. Пару $(1207;17)$ можно получить только из пары $\left(\frac{1207+17}{2};\frac{1207-17}{2}\right)=(612;595)$.

3. В паре $(612;595)$ числа разной чётности, поэтому её нельзя получить никаким ходом — цепочка обрывается.

Итак, пару $(1224;1190)$ можно получить за несколько ходов только из пар $(1207;17)$ и $(612;595)$.

Оценка. В любой подходящей паре $a=1207$ или $a=612$, поэтому $a⩾612$.

Пример. Из пары $(612;595)$ пара $(1224;1190)$ получается за два хода:

$$(612;595)⟶(1207;17)⟶(1224;1190),$$

так как $612+595=1207$, $612-595=17$, $1207+17=1224$, $1207-17=1190$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $612$.