ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пронумеруем числа по кругу: $x_1,x_2,\dots ,x_N$, и будем считать, что после $x_N$ снова идёт $x_1$ (номера берутся по кругу). Докажем два факта.

Факт 1: все числа нечётны. Возьмём любое число $x_i$. Сумма трёх чисел перед ним $x_{i-3}+x_{i-2}+x_{i-1}$ нечётна. Вместе с $x_i$ это четыре числа подряд, их сумма делится на $4$, то есть чётна. Значит, $x_i$ — разность чётного и нечётного чисел — нечётно.

Факт 2: $x_{i+4}$ и $x_i$ дают одинаковый остаток при делении на $4$. Суммы четвёрок $x_i+x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}$ и $x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}$ делятся на $4$, значит, делится на $4$ и их разность $x_{i+4}-x_i$.

а) Нет, не может. По факту 1 все числа нечётные. Нечётных натуральных чисел, не превосходящих $425$, всего $\frac{425+1}{2}=213$: это $1,3,\dots ,425$. Числа различны, поэтому $N⩽213<280$.

б) Нет, не может. Пусть $N=149$. Применяя факт 2 несколько раз, получаем, что числа

$$x_i,x_{i+4},x_{i+8},\dots ,x_{i+148}$$

дают одинаковые остатки при делении на $4$ (здесь $148=4\cdot 37$). Но на круге из $149$ чисел сдвиг на $148$ мест вперёд — то же самое, что сдвиг на одно место назад: $x_{i+148}=x_{i-1}$. Значит, любые два соседних числа дают одинаковый остаток при делении на $4$, а тогда и все числа на круге дают один и тот же остаток. Числа нечётны, поэтому этот остаток равен $1$ или $3$.

Посчитаем, сколько таких чисел не превосходит $425$. С остатком $1$: $1,5,9,\dots ,425$ — их $\frac{425-1}{4}+1=107$. С остатком $3$: $3,7,\dots ,423$ — их $\frac{423-3}{4}+1=106$. В любом случае различных чисел не больше $107<149$ — противоречие.

в) Оценка. По пункту а) $N⩽213$. Покажем, что $N=213$ невозможно. Так как $213=4\cdot 53+1$, рассуждение из пункта б) повторяется дословно: числа $x_i$ и $x_{i+212}=x_{i-1}$ дают одинаковый остаток при делении на $4$, поэтому все числа имеют один остаток, и их не больше $107<213$. Значит, $N⩽212$.

Пример. Расставим по кругу все нечётные числа от $1$ до $423$ в порядке возрастания (после $423$ снова идёт $1$):

$$1,3,5,7,\dots ,421,423.$$

Их $\frac{423-1}{2}+1=212$, все они различны и не превосходят $425$. Проверим условия.

Все числа нечётны, поэтому сумма любых трёх подряд нечётна.

Остатки при делении на $4$ чередуются: $1,3,1,3,\dots$ (у $1,5,9,\dots ,421$ остаток $1$, у $3,7,\dots ,423$ — остаток $3$). На стыке круга после $423$ (остаток $3$) идёт $1$ (остаток $1$), так что чередование не нарушается. Поэтому в любых четырёх подряд стоящих числах два дают остаток $1$ и два — остаток $3$, и сумма даёт тот же остаток, что $1+3+1+3=8$, то есть делится на $4$.

Значит, $N=212$ достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $212$.