ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Да, можно. Например, $2032=2024+8$. Числа $2024$ и $8$ различны, сумма цифр первого $2+0+2+4=8$, второго — $8$.

б) Нет, нельзя. Предположим, что $799=A+B$, где $A$ и $B$ — различные натуральные числа с одинаковой суммой цифр. Оба числа меньше $799$, значит, в них не больше трёх цифр. Допишем впереди нули, чтобы оба стали трёхзначными (сумма цифр от этого не меняется): $A=\overline{a_2{a}_1{a}_0}$, $B=\overline{b_2{b}_1{b}_0}$. Сложим их в столбик.

Единицы: $a_0+b_0$ оканчивается на $9$ (последняя цифра числа $799$), и при этом $0⩽a_0+b_0⩽18$. Значит, $a_0+b_0=9$, и переноса в разряд десятков нет.

Десятки: переноса не было, поэтому $a_1+b_1$ тоже оканчивается на $9$ и не больше $18$. Значит, $a_1+b_1=9$, и переноса в разряд сотен нет.

Сотни: $a_2+b_2$ оканчивается на $7$, то есть равно $7$ или $17$. Если бы было $17$, получился бы перенос в разряд тысяч и сумма была бы не меньше $1000$. Значит, $a_2+b_2=7$.

Сложим все цифры обоих чисел:

$$(a_0+b_0)+(a_1+b_1)+(a_2+b_2)=9+9+7=25.$$

С другой стороны, если суммы цифр чисел $A$ и $B$ равны некоторому $s$, то общая сумма их цифр равна $2s$ — чётному числу. А $25$ нечётно — противоречие.

в) Воспользуемся известным фактом: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на $9$. Действительно,

$$\overline{c_k\dots c_1{c}_0}-(c_k+\dots +c_1+c_0)=c_1(10-1)+c_2(100-1)+\dots +c_k(10^k-1),$$

а каждое из чисел $10-1$, $100-1$, …, $10^k-1$ записывается одними девятками и делится на $9$.

Пусть пять чисел $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$ имеют одинаковую сумму цифр. Тогда у них одинаковые остатки при делении на $9$, то есть разность любых двух из них делится на $9$.

Оценка. Числа различны, а их разности кратны $9$, поэтому каждое следующее хотя бы на $9$ больше предыдущего:

$$x_2⩾x_1+9,x_3⩾x_1+18,x_4⩾x_1+27,x_5⩾x_1+36.$$

Сложив, получаем

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5⩾5x_1+90.$$

Если $x_1⩾5$, то сумма не меньше $25+90=115>110$.

Если $x_1⩽4$, то $x_1$ — однозначное число, и общая сумма цифр всех пяти чисел равна $s=x_1$. Тогда сумма пяти чисел не меньше суммы пяти наименьших натуральных чисел с суммой цифр $s$:

1. $s=1$: такие числа — только $1,10,100,1000,10000,\dots$, сумма пяти наименьших $1+10+100+1000+10000=11111$.

2. $s=2$: двузначных таких чисел два ($11$, $20$), дальше идут трёхзначные $101$, $110$; сумма $2+11+20+101+110=244$.

3. $s=3$: двузначных три ($12$, $21$, $30$), дальше $102$; сумма $3+12+21+30+102=168$.

4. $s=4$: двузначных четыре ($13$, $22$, $31$, $40$); сумма $4+13+22+31+40=110$.

Во всех случаях сумма не меньше $110$.

Пример. Числа $4,13,22,31,40$ различны, у каждого сумма цифр равна $4$, а их сумма

$$4+13+22+31+40=110.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $110$.