Имеются контейнеры массой в 2 тонны и 7 тонн и корабли… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2023 развёрнутое

Имеются контейнеры массой в 2 тонны и 7 тонн и корабли грузоподъемностью в 10 тонн.

а) Можно ли 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны погрузить на 14 кораблей?

б) Можно ли 11 контейнеров массой 7 тонн и 17 контейнеров массой 2 тонны погрузить на 12 кораблей?

в) Какое наименьшее количество кораблей требуется для погрузки 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Сначала два наблюдения, на которых держится всё решение.

Два семитонных контейнера на один корабль не помещаются: $7 + 7 = 14 > 10$ . Значит, на каждом корабле не больше одного семитонного контейнера.
На корабль с семитонным контейнером можно добавить не больше одного двухтонного: $7 + 2 \cdot 2 = 11 > 10$ . На корабль без семитонных помещается не больше пяти двухтонных: $6 \cdot 2 = 12 > 10$ .

а) Да, можно. На $11$ кораблей погрузим по одному семитонному и одному двухтонному контейнеру: $7 + 2 = 9 ⩽ 10$ т. Останется $22 - 11 = 11$ двухтонных контейнеров. На два корабля погрузим по $5$ контейнеров ( $10$ т), на третий — оставшийся $1$ контейнер ( $2$ т). Всего использовано $11 + 3 = 14$ кораблей, все контейнеры погружены.

б) Нет, нельзя. Предположим, что всё погрузили на $12$ кораблей. По наблюдению 1) $11$ семитонных контейнеров стоят на $11$ разных кораблях. По наблюдению 2) на каждом из них не больше одного двухтонного — всего не больше $11$ . Остаётся $12 - 11 = 1$ корабль, на нём не больше $5$ двухтонных. Итого можно погрузить не больше

$11 + 5 = 16 < 17$

двухтонных контейнеров — противоречие.

в) Оценка. Пусть хватило $m$ кораблей. Семитонные контейнеры стоят на $11$ разных кораблях, и на этих кораблях не больше $11$ двухтонных контейнеров. На остальных $m - 11$ кораблях — не больше $5 (m - 11)$ двухтонных. Все $77$ двухтонных должны поместиться:

$77 ⩽ 11 + 5 (m - 11) \Leftrightarrow 5 (m - 11) ⩾ 66 \Leftrightarrow m - 11 ⩾ 13, 2.$

Так как $m$ целое, $m - 11 ⩾ 14$ , то есть $m ⩾ 25$ .

Заметим, что простая оценка по общей массе здесь слабее: масса всех контейнеров $11 \cdot 7 + 77 \cdot 2 = 231$ т даёт только $m ⩾ 24$ . Поэтому важно учесть, что место рядом с семитонным контейнером почти не используется.

Пример. На $11$ кораблей погрузим по одному семитонному и одному двухтонному контейнеру ( $9$ т). Останется $77 - 11 = 66$ двухтонных. На $13$ кораблей погрузим по $5$ двухтонных ( $10$ т) — это $65$ контейнеров, а последний контейнер — на ещё один корабль. Кораблей $11 + 13 + 1 = 25$ , двухтонных погружено $11 + 65 + 1 = 77$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $25$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20