На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2015 развёрнутое

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $n$ чисел $a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}$ , где все цифры $a_{i}$ и $b_{i}$ — от $1$ до $9$ (нулей нет). Число $a_{i} b_{i} = 10 a_{i} + b_{i}$ после перестановки цифр становится числом $10 b_{i} + a_{i}$ . Обозначим суммы цифр десятков и единиц:

$A = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}, B = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} .$

Тогда сумма исходных чисел равна $10 A + B = 363$ , а сумма новых чисел равна $10 B + A$ . Каждая цифра не меньше $1$ и не больше $9$ , поэтому

$n ⩽ A ⩽ 9 n, n ⩽ B ⩽ 9 n . (*)$

В частности, $B ⩽ 9 n ⩽ 9 A$ .

а) Новая сумма должна быть равна $4 \cdot 363 = 1452$ . Решим систему

${10 A + B = 363, A + 10 B = 1452.$

Вычтем из второго уравнения первое: $9 B - 9 A = 1089$ , то есть $B = A + 121$ . Подставим в первое уравнение: $11 A + 121 = 363$ , $A = 22$ , $B = 143$ .

Подберём числа с такими суммами цифр. Сумму единиц $143 = 15 \cdot 9 + 8$ дадут $16$ чисел: у $15$ из них цифра единиц $9$ , у одного — $8$ . Сумму десятков $22 = 15 \cdot 1 + 7$ получим, если у первых $15$ чисел десятки равны $1$ , а у последнего — $7$ .

Пример: $15$ чисел $19$ и одно число $78$ . Проверка:

$15 \cdot 19 + 78 = 285 + 78 = 363, 15 \cdot 91 + 87 = 1365 + 87 = 1452 = 4 \cdot 363.$

б) Нет, не могла. Тогда новая сумма была бы равна $2 \cdot 363 = 726$ :

${10 A + B = 363, A + 10 B = 726.$

Вычтем из второго уравнения первое: $9 (B - A) = 726 - 363 = 363$ . Левая часть делится на $9$ , а $363 = 9 \cdot 40 + 3$ на $9$ не делится — противоречие.

в) Выразим новую сумму через $A$ . Из равенства $10 A + B = 363$ получаем $B = 363 - 10 A$ , поэтому

$10 B + A = 10 (363 - 10 A) + A = 3630 - 99 A .$

Новая сумма тем больше, чем меньше $A$ . Но уменьшать $A$ бесконечно нельзя: чем больше $B$ , тем больше должно быть чисел, а значит, тем больше и $A$ .

Оценка. По $(*)$ $B ⩽ 9 A$ , то есть

$363 - 10 A ⩽ 9 A \Leftrightarrow 19 A ⩾ 363 \Leftrightarrow A ⩾ \frac{363}{19} = 19 \frac{2}{19} .$

Так как $A$ целое, $A ⩾ 20$ . Тогда новая сумма

$10 B + A = 3630 - 99 A ⩽ 3630 - 99 \cdot 20 = 3630 - 1980 = 1650.$

Пример. При $A = 20$ получаем $B = 363 - 200 = 163$ . Сумму единиц $163 = 18 \cdot 9 + 1$ дадут $19$ чисел: у $18$ из них цифра единиц $9$ , у одного — $1$ . Сумму десятков $20 = 18 \cdot 1 + 2$ получим, если у первых $18$ чисел десятки равны $1$ , а у последнего — $2$ . Это $18$ чисел $19$ и одно число $21$ . Проверка:

$18 \cdot 19 + 21 = 342 + 21 = 363, 18 \cdot 91 + 12 = 1638 + 12 = 1650.$

Ответ: а) например, $15$ чисел $19$ и число $78$ ; б) нет; в) $1650$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20