ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Пример пяти ходов:

$$(1;3;30),(2;4;27),(5;7;20),(6;8;17),(9;10;11).$$

Проверим условия. Все $15$ чисел различны, поэтому каждое число стирается не больше одного раза. Суммы троек:

$$1+3+30=34,2+4+27=33,5+7+20=32,6+8+17=31,9+10+11=30.$$

Все суммы меньше $35$ и попарно различны, так что каждый ход разрешён.

б) Нет, нельзя. На доске $30$ чисел, за ход стирается $3$, поэтому сделать $10$ ходов — значит стереть все числа. Покажем, что числа $29$ и $30$ не могут быть стёрты оба.

Пусть $30$ стёрто вместе с числами $u$ и $v$. Тогда $30+u+v<35$, то есть $u+v⩽4$. Два различных натуральных числа с суммой не больше $4$ — это $1$ и $2$ или $1$ и $3$. Значит, $30$ стирается вместе с числом $1$ и одним из чисел $2$, $3$.

Пусть $29$ стёрто вместе с числами $s$ и $t$. Тогда $s+t⩽5$. Число $1$ стёрто вместе с $30$, а каждое число стирается один раз, поэтому $s,t⩾2$. Два различных числа, не меньших $2$, с суммой не больше $5$ — только $2$ и $3$. Но одно из чисел $2$, $3$ уже стёрто вместе с $30$ — противоречие.

Значит, все числа стереть нельзя, и $10$ ходов сделать невозможно. (Это следует и из оценки в пункте в).)

в) Оценка. Пусть сделано $k$ ходов. Суммы троек — различные натуральные числа, меньшие $35$, то есть не больше $34$. Поэтому сумма всех $k$ сумм не больше суммы $k$ наибольших таких чисел:

$$34+33+\dots +(35-k)=34k-(0+1+\dots +(k-1))=34k-\frac{k(k-1)}{2}.$$

С другой стороны, сумма всех сумм троек — это сумма всех стёртых чисел. Стёрто $3k$ различных чисел из $1,2,\dots ,30$, и их сумма не меньше суммы $3k$ наименьших:

$$1+2+\dots +3k=\frac{3k(3k+1)}{2}.$$

Получаем неравенство

$$\frac{3k(3k+1)}{2}⩽34k-\frac{k(k-1)}{2}.$$

Умножим обе части на $\frac{2}{k}>0$:

$$3(3k+1)⩽68-(k-1)\iff 9k+3⩽69-k\iff 10k⩽66\iff k⩽6,6.$$

Так как $k$ целое, $k⩽6$. Например, при $k=7$ стёртые числа дали бы сумму не меньше $1+2+\dots +21=231$, а семь различных сумм троек — не больше $34+33+\dots +28=217<231$.

Пример. Шесть ходов:

$$(5;11;17),(1;12;18),(4;10;16),(3;9;15),(6;7;13),(2;8;14).$$

Стёрты $18$ различных чисел — все числа от $1$ до $18$, каждое по одному разу. Суммы троек:

$$33,31,30,27,26,24$$

— все меньше $35$ и попарно различны.

Ответ: а) например, $(1;3;30)$, $(2;4;27)$, $(5;7;20)$, $(6;8;17)$, $(9;10;11)$; б) нет; в) $6$.