ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Общая масса всех камней:

$$4\cdot 5+13\cdot 14=20+182=202\text{т}.$$

Пусть в первой группе $a$ камней по $5$ т и $b$ камней по $14$ т, где $a$ и $b$ — целые, $0⩽a⩽4$, $0⩽b⩽13$. Масса первой группы $m=5a+14b$, второй — $202-m$, а разность масс

$$m-(202-m)=2m-202=2(5a+14b-101).$$

а) Да, можно. Найдём сначала, какими должны быть массы групп. Если они равны $x$ и $y$, то $x-y=6$ и $x+y=202$, откуда $x=104$, $y=98$. Число $98=7\cdot 14$ — это масса семи камней по $14$ т. Отсюда пример.

Пример: в первой группе $4$ камня по $5$ т и $6$ камней по $14$ т, во второй — $7$ камней по $14$ т. Все камни разложены: $6+7=13$. Массы групп и их разность:

$$4\cdot 5+6\cdot 14=20+84=104\text{т},7\cdot 14=98\text{т},104-98=6\text{т}.$$

б) Нет, нельзя. Если массы групп равны, то каждая равна $202:2=101$ т, то есть $5a+14b=101$. Число $14b$ чётно, а $101$ нечётно, поэтому $5a$ нечётно, и $a$ нечётно: $a=1$ или $a=3$.

1. $a=1$: $14b=101-5=96$, но $96$ на $14$ не делится ($14\cdot 6=84$, $14\cdot 7=98$).

2. $a=3$: $14b=101-15=86$, но $86$ на $14$ не делится ($14\cdot 6=84$).

Ни один случай невозможен, значит, равных масс у групп быть не может.

в) Оценка. Разность масс по модулю равна $2|5a+14b-101|$ — это чётное число. По пункту б) она не равна нулю, значит, положительная разность не меньше $2$. Проверим, может ли она равняться $2$ т. Тогда $5a+14b=100$ или $5a+14b=102$, то есть $14b=100-5a$ или $14b=102-5a$. Переберём все значения $a$:

$$\begin{array}{cccccc}a& 0& 1& 2& 3& 4\\ 100-5a& 100& 95& 90& 85& 80\\ 102-5a& 102& 97& 92& 87& 82\end{array}$$

Числа, кратные $14$, на промежутке от $80$ до $102$ — только $84$ и $98$, а в таблице их нет. Значит, разность $2$ т невозможна, и наименьшая положительная разность не меньше $4$ т.

Пример. Разность $4$ т получится, если $5a+14b=103$. При $a=1$ имеем $14b=98$, $b=7$. Первая группа — $1$ камень по $5$ т и $7$ камней по $14$ т, вторая — $3$ камня по $5$ т и $6$ камней по $14$ т:

$$5+7\cdot 14=103\text{т},3\cdot 5+6\cdot 14=15+84=99\text{т},103-99=4\text{т}.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $4$.