ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Упорядочим оценки по возрастанию: $a_1<a_2<\dots <a_8$ — различные целые числа от $0$ до $12$. Старый рейтинг равен $\frac{a_1+a_2+\dots +a_8}{8}$, новый — $\frac{a_2+\dots +a_7}{6}$ (отброшены наименьшая оценка $a_1$ и наибольшая $a_8$). Обозначим $M=a_2+a_3+\dots +a_7$ и приведём разность рейтингов к общему знаменателю $48$:

$$D=\frac{a_1+a_8+M}{8}-\frac{M}{6}=\frac{6(a_1+a_8)+6M-8M}{48}=\frac{6(a_1+a_8)-2M}{48}=\frac{3(a_1+a_8)-M}{24}.$$

Числитель $3(a_1+a_8)-M$ — целое число, так как все оценки целые.

а) Нет, не может. Если $D=\frac{1}{20}$, то

$$3(a_1+a_8)-M=\frac{24}{20}=\frac{6}{5}.$$

Слева целое число, справа — нецелое. Противоречие.

б) Да, может. Нужно, чтобы $3(a_1+a_8)-M=24\cdot \frac{1}{24}=1$. Возьмём $a_1=1$ и $a_8=12$: тогда $3(a_1+a_8)=39$, и нужно $M=38$, то есть шесть различных чисел между $1$ и $12$ с суммой $38$ — например, $3,5,6,7,8,9$.

Пример: оценки $1,3,5,6,7,8,9,12$. Они различные, целые, от $0$ до $12$. Сумма всех оценок $51$, старый рейтинг $\frac{51}{8}$. Без $1$ и $12$ остаются $3,5,6,7,8,9$ с суммой $38$, новый рейтинг $\frac{38}{6}=\frac{19}{3}$. Разность

$$\frac{51}{8}-\frac{19}{3}=\frac{153-152}{24}=\frac{1}{24}.$$

в) Оценка. Оценки целые и различные, поэтому каждая следующая хотя бы на $1$ больше предыдущей: $a_2⩾a_1+1$, $a_3⩾a_1+2$, …, $a_7⩾a_1+6$. Сложив, получаем

$$M⩾6a_1+(1+2+\dots +6)=6a_1+21.$$

Тогда, учитывая $a_8⩽12$ и $a_1⩾0$,

$$3(a_1+a_8)-M⩽3a_1+3a_8-6a_1-21=3a_8-3a_1-21⩽3\cdot 12-3\cdot 0-21=15.$$

Значит, $D⩽\frac{15}{24}=\frac{5}{8}$.

Пример. Все неравенства оценки обращаются в равенства, если $a_1=0$, $a_8=12$, а $a_2,\dots ,a_7$ — это $1,2,\dots ,6$. Оценки $0,1,2,3,4,5,6,12$: сумма всех $33$, старый рейтинг $\frac{33}{8}$; без $0$ и $12$ сумма $21$, новый рейтинг $\frac{21}{6}=\frac{28}{8}$. Разность

$$\frac{33}{8}-\frac{28}{8}=\frac{5}{8}.$$

Ответ: а) нет; б) да; в) $\frac{5}{8}$.