На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Числа на доске и карточках средняя 2024 развёрнутое

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $2376$ . Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число $17$ заменили на число $71$ ).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $3$ раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $6$ раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $n$ чисел $a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}$ , где все цифры $a_{i}$ и $b_{i}$ — от $1$ до $9$ (нулей нет). Число $a_{i} b_{i} = 10 a_{i} + b_{i}$ после перестановки цифр становится числом $b_{i} a_{i} = 10 b_{i} + a_{i}$ . Обозначим суммы цифр десятков и единиц:

$A = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}, B = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} .$

Тогда сумма исходных чисел равна $10 A + B = 2376$ , а сумма новых чисел равна $10 B + A$ . Каждая из $n$ цифр в сумме $A$ (и в сумме $B$ ) не меньше $1$ и не больше $9$ , поэтому

$n ⩽ A ⩽ 9 n, n ⩽ B ⩽ 9 n . (*)$

В частности, $A ⩽ 9 n ⩽ 9 B$ .

а) Новая сумма должна быть равна $2376 : 3 = 792$ . Решим систему

${10 A + B = 2376, A + 10 B = 792.$

Умножим второе уравнение на $10$ и вычтем первое: $99 B = 7920 - 2376 = 5544$ , откуда $B = 56$ и $A = 792 - 10 \cdot 56 = 232$ .

Теперь подберём числа с такими суммами цифр. Сумму единиц $56 = 28 \cdot 2$ получим, взяв $28$ чисел с цифрой единиц $2$ . Сумма десятков $232 = 28 \cdot 8 + 8$ : у $20$ чисел десятки $8$ , у $8$ чисел — $9$ .

Пример: $20$ чисел $82$ и $8$ чисел $92$ . Проверка:

$20 \cdot 82 + 8 \cdot 92 = 1640 + 736 = 2376, 20 \cdot 28 + 8 \cdot 29 = 560 + 232 = 792 = \frac{2376}{3} .$

б) Нет, не могла. Тогда новая сумма была бы равна $2376 : 6 = 396$ :

${10 A + B = 2376, A + 10 B = 396.$

Умножим второе уравнение на $10$ и вычтем первое: $99 B = 3960 - 2376 = 1584$ , откуда $B = 16$ и $A = 396 - 160 = 236$ . Но по $(*)$ должно быть $A ⩽ 9 B = 144$ , а $236 > 144$ — противоречие.

в) Выразим новую сумму через $A$ . Из равенства $10 A + B = 2376$ получаем $B = 2376 - 10 A$ , поэтому

$10 B + A = 10 (2376 - 10 A) + A = 23760 - 99 A .$

Новая сумма тем меньше, чем больше $A$ .

Оценка. По $(*)$ $A ⩽ 9 B$ , то есть

$A ⩽ 9 (2376 - 10 A) \Leftrightarrow 91 A ⩽ 21384 \Leftrightarrow A ⩽ \frac{21384}{91} = 234 \frac{90}{91} .$

Так как $A$ целое, $A ⩽ 234$ . (Например, при $A = 235$ было бы $B = 26$ , а нужно $B ⩾ \frac{235}{9} > 26$ .) Тогда новая сумма

$10 B + A = 23760 - 99 A ⩾ 23760 - 99 \cdot 234 = 23760 - 23166 = 594.$

Пример. При $A = 234$ получаем $B = 2376 - 2340 = 36$ . Возьмём $36$ чисел с цифрой единиц $1$ ; сумму десятков $234 = 30 \cdot 7 + 6 \cdot 4$ получим так: $30$ чисел $71$ и $6$ чисел $41$ . Проверка:

$30 \cdot 71 + 6 \cdot 41 = 2130 + 246 = 2376, 30 \cdot 17 + 6 \cdot 14 = 510 + 84 = 594.$

Ответ: а) например, $20$ чисел $82$ и $8$ чисел $92$ ; б) нет; в) $594$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20