ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Сначала получим оценку суммы, которая пригодится во всех пунктах. Пусть на доске $k$ красных и $30-k$ зелёных чисел. Зелёные числа — различные натуральные числа, кратные $3$. Упорядочим их по возрастанию: первое не меньше $3$, второе не меньше $6$, и вообще $i$-е не меньше $3i$ (между соседними кратными $3$ разница хотя бы $3$). Точно так же $i$-е по величине красное число не меньше $8i$. Поэтому сумма $S$ всех чисел на доске удовлетворяет неравенству

$$S⩾(3+6+\dots +3(30-k))+(8+16+\dots +8k)=\frac{3(30-k)(31-k)}{2}+4k(k+1).(\ast )$$

Равенство достигается, когда зелёные числа — это $3,6,\dots ,3(30-k)$, а красные — $8,16,\dots ,8k$.

а) Да, может. Заметим, что без красных чисел не обойтись: если все 30 чисел зелёные, то по $(\ast )$ при $k=0$ сумма не меньше $3+6+\dots +90=1395$. Красное число должно быть кратно и $8$, и $3$, — например, $24$. Совпадать с зелёным $24$ ему разрешено.

Пример: зелёные числа $3,6,9,\dots ,87$ (их $29$), красное число $24$. Всего $30$ чисел, все они кратны $3$, зелёные различны. Сумма

$$(3+6+\dots +87)+24=(1395-90)+24=1329<1395.$$

б) Нет, не может. Если красное число одно, то зелёных $29$, и по $(\ast )$ их сумма не меньше

$$3+6+\dots +87=3\cdot (1+2+\dots +29)=3\cdot \frac{29\cdot 30}{2}=1305.$$

Уже сумма зелёных больше $1066$, а вместе с красным числом (оно не меньше $8$) сумма не меньше $1313>1066$ — противоречие.

в) Оценка. Посчитаем по формуле $(\ast )$ наименьшую возможную сумму при $k=0,1,\dots ,7$ красных числах:

$$\begin{array}{cccc}k& \text{зелёные}& \text{красные}& \text{наименьшая сумма}\\ 0& 3,6,\dots ,90& -& 1395\\ 1& 3,6,\dots ,87& 8& 1305+8=1313\\ 2& 3,6,\dots ,84& 8,16& 1218+24=1242\\ 3& 3,6,\dots ,81& 8,16,24& 1134+48=1182\\ 4& 3,6,\dots ,78& 8,16,\dots ,32& 1053+80=1133\\ 5& 3,6,\dots ,75& 8,16,\dots ,40& 975+120=1095\\ 6& 3,6,\dots ,72& 8,16,\dots ,48& 900+168=1068\\ 7& 3,6,\dots ,69& 8,16,\dots ,56& 828+224=1052\end{array}$$

При $k⩽6$ даже наименьшая возможная сумма больше $1066$, значит, сумма $1066$ недостижима. Поэтому красных чисел не меньше $7$.

Пример. Построим пример с $7$ красными числами. Возьмём набор с наименьшей суммой при $k=6$: зелёные $3,6,\dots ,72$, красные $8,16,\dots ,48$, сумма $1068$. Добавим новое красное число $r$ и уберём одно зелёное число $g$ — чисел снова $30$, а сумма станет $1068+r-g$. Нужно $1068+r-g=1066$, то есть $g=r+2$, где $r>48$ кратно $8$, а $g⩽72$ кратно $3$. При $r=56$ получаем $g=58$ — не кратно $3$. При $r=64$ получаем $g=66$ — подходит.

Итак, зелёные числа: $3,6,\dots ,63,69,72$ (это $21+2=23$ числа), красные: $8,16,24,32,40,48,64$ ($7$ чисел). Всего $30$ чисел, зелёные различны и кратны $3$, красные различны и кратны $8$. Проверим сумму:

$$3+6+\dots +63=3\cdot \frac{21\cdot 22}{2}=693,693+69+72=834,$$

$$8+16+24+32+40+48+64=232,834+232=1066.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $7$.