ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

а) Нет, не мог. За любой уровень заряд уменьшается на $3$, $6$ или $9$ пунктов — каждое из этих чисел делится на $3$. Сумма чисел, кратных $3$, тоже делится на $3$, поэтому за несколько уровней заряд уменьшается на число пунктов, кратное $3$. Но $32=3\cdot 10+2$ на $3$ не делится.

б) Пусть Витя прошёл $a$ уровней на три звезды, $b$ — на две звезды и $c$ — на одну ($a,b,c$ — целые неотрицательные). Всего он получил $3a+2b+c$ звёзд, а заряд уменьшился на $3a+6b+9c$ пунктов. Получаем систему; второе уравнение сразу разделим на $3$:

$$\{\begin{array}{l}3a+2b+c=17,\\ 3a+6b+9c=33\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3a+2b+c=17,\\ a+2b+3c=11.\end{array}$$

Сложим уравнения:

$$4a+4b+4c=28\iff a+b+c=7.$$

Число пройденных уровней — это как раз $a+b+c$, и оно равно $7$ при любом решении системы. Решения существуют: например, $a=5$, $b=0$, $c=2$ дают $15+0+2=17$ звёзд и $15+0+18=33$ пункта.

в) Витя получил $9000a+5000b+2000c$ очков. Найдём все тройки $(a;b;c)$, подходящие под условие. Вычтем из уравнения $a+2b+3c=11$ уравнение $a+b+c=7$:

$$b+2c=4.$$

Так как $b⩾0$, имеем $c⩽2$, то есть $c\in \{0;1;2\}$. Тогда $b=4-2c$ и $a=7-b-c=3+c$. Выпишем все решения и проверим каждое:

$$\begin{array}{cccc}(a;b;c)& \text{звёзды}& \text{заряд}& \text{очки}\\ (3;4;0)& 9+8+0=17& 9+24+0=33& 27000+20000=47000\\ (4;2;1)& 12+4+1=17& 12+12+9=33& 36000+10000+2000=48000\\ (5;0;2)& 15+0+2=17& 15+0+18=33& 45000+4000=49000\end{array}$$

Оценка. Подставим $a=3+c$, $b=4-2c$ в количество очков:

$$9000(3+c)+5000(4-2c)+2000c=47000+1000c⩽47000+1000\cdot 2=49000,$$

так как $c⩽2$. Больше $49000$ очков получить нельзя.

Пример. Значение $49000$ достигается: Витя прошёл $5$ уровней на три звезды и $2$ уровня на одну звезду. Звёзд $5\cdot 3+2\cdot 1=17$, заряд уменьшился на $5\cdot 3+2\cdot 9=33$ пункта, очков $5\cdot 9000+2\cdot 2000=49000$.

Ответ: а) нет; б) $7$; в) $49000$.