ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Общая сумма всех монет:

$$5N+2(1000-N)=2000+3N.$$

Условие «любые 300 монет дают не меньше четверти общей суммы» равносильно тому, что наименьшая возможная сумма 300 монет не меньше $\frac{2000+3N}{4}$. Действительно, если самая маленькая сумма не меньше четверти, то и все остальные тоже; а если она меньше, то именно эти 300 монет нарушают условие.

Какие 300 монет дают наименьшую сумму? Если в наборе заменить пятирублёвую монету на двухрублёвую, не входившую в набор, сумма уменьшится на $3$. Поэтому наименьшая сумма получается, когда двухрублёвых монет в наборе как можно больше: если их всего не меньше 300, берём 300 двухрублёвых; если меньше — берём все двухрублёвые и добираем пятирублёвыми.

а) Да, может. При $N=100$ общая сумма равна $2000+3\cdot 100=2300$ руб., её четверть — $575$ руб. Каждая монета стоит не меньше 2 руб., поэтому сумма любых 300 монет не меньше

$$300\cdot 2=600>575.$$

Значит, условие выполнено для любого набора из 300 монет.

б) Нет, не может. При $N=500$ общая сумма равна $2000+3\cdot 500=3500$ руб., её четверть — $875$ руб. Двухрублёвых монет $500$; возьмём любые 300 из них. Их сумма

$$300\cdot 2=600<875$$

— условие нарушено.

в) Разберём два случая в зависимости от того, хватает ли двухрублёвых монет на весь набор.

1. Двухрублёвых не меньше 300: $1000-N⩾300$, то есть $1⩽N⩽700$. Наименьшая сумма 300 монет равна $600$ (все монеты двухрублёвые). Условие:

$$600⩾\frac{2000+3N}{4}\iff 2400⩾2000+3N\iff N⩽\frac{400}{3}=133\frac{1}{3}.$$

Так как $N$ целое, подходят $N=1,2,\dots ,133$ — это $133$ значения.

2. Двухрублёвых меньше 300: $1000-N<300$, то есть $701⩽N⩽999$. Наименьшая сумма — все $1000-N$ двухрублёвых и ещё $300-(1000-N)=N-700$ пятирублёвых:

$$2(1000-N)+5(N-700)=2000-2N+5N-3500=3N-1500.$$

Условие:

$$3N-1500⩾\frac{2000+3N}{4}\iff 12N-6000⩾2000+3N\iff 9N⩾8000\iff N⩾888\frac{8}{9}.$$

Подходят $N=889,890,\dots ,999$ — это $999-889+1=111$ значений.

В каждом случае мы проверяли условие, равносильное исходному, поэтому найдены все подходящие $N$ и только они. Всего $133+111=244$ значения.

Ответ: а) да; б) нет; в) $244$.