На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Приписать справа цифру — значит умножить число на и прибавить эту цифру. Поэтому число из первой группы превращается в , из второй — в , а число третьей группы не меняется.
Обозначим: и — сумма и количество чисел первой группы, и — второй, и — третьей. В каждой группе хотя бы одно число, поэтому . Исходная сумма . После приписывания сумма первой группы стала , второй — , третьей осталась . Новая сумма
а) Да, могла. Найдём, когда :
Возьмём по одному числу в первой и второй группах (): нужно . Подходят, например, , , : .
Пример: на доске числа ; число — в первой группе, — во второй, — в третьей. Числа различны, каждая группа непуста. После приписывания получаются числа . Проверим:
Сумма увеличилась ровно в раз.
б) Нет, не могла. Предположим, что :
Каждое натуральное число не меньше , поэтому сумма натуральных чисел не меньше их количества: , . Кроме того, . Значит,
Левая часть строго больше правой — равенство невозможно.
в) Пусть всего на доске чисел, . Перепишем новую сумму, выделив :
Так как , имеем , и отношение сумм равно
Из этой формулы видно, как выгоднее раскладывать числа. Каждое число первой группы даёт на меньше, чем дало бы во второй группе, а каждое число третьей группы — на меньше. Поэтому в первой и третьей группах выгодно оставить по одному числу, в третью отправить самое маленькое число, а сами числа взять как можно меньше, то есть . Оформим это строго.
Оценка. Так как , и , числитель дроби не больше . Числа различные натуральные, поэтому их сумма не меньше суммы первых натуральных чисел:
При число положительно, поэтому
Осталось найти, при каком натуральном дробь наибольшая. Посчитаем несколько значений:
Докажем, что при всех натуральных . Знаменатели положительны, поэтому
Корни трёхчлена — и , и между ними нет целых чисел. При целом оба множителя неположительны, при оба положительны, так что произведение неотрицательно. Значит, при любом наборе чисел
Пример. Все неравенства оценки обращаются в равенства при , если числа — это , в третьей группе одно число , в первой группе одно число, а остальные три — во второй. Возьмём: первая группа — , вторая — , третья — . После приписывания получаются числа ; ; . Проверим:
Значит, наибольшее возможное увеличение — в раза.
Ответ: а) да; б) нет; в) в раза.