ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Это различные натуральные числа, будем считать $x_1<x_2$. Приведённый квадратный трёхчлен раскладывается по своим корням:

$$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2.$$

Сравним коэффициенты (это теорема Виета):

$$p=-(x_1+x_2),q=x_1{x}_2.$$

Значит, $p$ — отрицательное целое число, а $q$ — натуральное. Верно и обратное: если взять любые различные натуральные $x_1$, $x_2$ и задать $p$ и $q$ этими формулами, корнями уравнения будут именно $x_1$ и $x_2$. Поэтому дальше ищем пары корней.

а) При $q=55$ имеем $x_1{x}_2=55$. Так как $55=5\cdot 11$, натуральные делители числа $55$ — это $1,5,11,55$. Значит, на два различных натуральных множителя $55$ раскладывается ровно двумя способами:

$$55=1\cdot 55=5\cdot 11.$$

Если $x_1=1$, $x_2=55$, то $p=-(1+55)=-56$. Если $x_1=5$, $x_2=11$, то $p=-(5+11)=-16$.

Проверка: уравнение $x^2-56x+55=0$ имеет корни $1$ и $55$, уравнение $x^2-16x+55=0$ — корни $5$ и $11$. Оба значения подходят.

б) Подставим выражения через корни в условие $p+q=30$:

$$x_1{x}_2-x_1-x_2=30.$$

Прибавим к обеим частям $1$, чтобы левую часть можно было разложить группировкой:

$$x_1{x}_2-x_1-x_2+1=31\iff x_1(x_2-1)-(x_2-1)=31\iff (x_1-1)(x_2-1)=31.$$

Числа $x_1-1$ и $x_2-1$ целые неотрицательные, причём $x_1-1<x_2-1$. Число $31$ простое, поэтому оно раскладывается в такое произведение единственным способом: $31=1\cdot 31$. Получаем

$$x_1-1=1,x_2-1=31\Rightarrow x_1=2,x_2=32.$$

Тогда $q=2\cdot 32=64$ и $p=-(2+32)=-34$. Проверка: $p+q=-34+64=30$.

в) Разложим разность квадратов на множители:

$$q^2-p^2=(q-p)(q+p)=2108=2^2\cdot 17\cdot 31.$$

Сначала разберёмся со знаками. Так как $q>0$ и $p<0$, множитель $q-p=x_1{x}_2+x_1+x_2$ положителен. Произведение $(q-p)(q+p)=2108$ тоже положительно, значит, и $q+p>0$. Кроме того, $q-p>q+p$, ведь их разность $(q-p)-(q+p)=-2p$ положительна.

Теперь чётность. Множители $q-p$ и $q+p$ отличаются на чётное число $-2p$, поэтому они одной чётности. Нечётными оба быть не могут: тогда их произведение было бы нечётным, а $2108$ чётно. Значит, оба множителя чётные: $q-p=2m$, $q+p=2k$, где $m>k$ — натуральные числа и

$$4mk=2108\iff mk=527=17\cdot 31.$$

Разложений числа $527$ на два натуральных множителя с $m>k$ ровно два: $527=527\cdot 1=31\cdot 17$. Разберём оба случая.

1. $m=31$, $k=17$, то есть $q-p=62$, $q+p=34$. Сложив равенства, получаем $2q=96$, $q=48$; вычтя — $2p=-28$, $p=-14$. Корни имеют сумму $14$ и произведение $48$, то есть это корни уравнения $x^2-14x+48=0$:

$$x=\frac{14\pm \sqrt{196-192}}{2}=\frac{14\pm 2}{2},x_1=6,x_2=8.$$

Корни натуральные и различные — случай подходит. Проверка: $q^2-p^2=48^2-14^2=2304-196=2108$.

2. $m=527$, $k=1$, то есть $q-p=1054$, $q+p=2$. Отсюда $q=528$, $p=-526$. Воспользуемся тем же приёмом, что в пункте б):

$$(x_1-1)(x_2-1)=x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1=q+p+1=3.$$

Число $3$ простое, поэтому $x_1-1=1$, $x_2-1=3$, то есть $x_1=2$, $x_2=4$. Но тогда $x_1+x_2=6\ne 526$ — противоречие. Этот случай невозможен.

(Можно проверить и через дискриминант: у уравнения $x^2-526x+528=0$ он равен $526^2-4\cdot 528=274564$, а это не точный квадрат, так как $523^2=273529<274564<274576=524^2$. Значит, целых корней нет.)

Разобраны все случаи: корнями уравнения могут быть только числа $6$ и $8$.

Ответ: а) $-56$; $-16$; б) $64$; в) $6$ и $8$.