Шесть критиков оценивали спектакль. Каждый из них выставил оценку… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом средняя 2026 развёрнутое

Шесть критиков оценивали спектакль. Каждый из них выставил оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Все критики выставили различные оценки. Старый рейтинг спектакля — это среднее арифметическое всех оценок критиков. Новый рейтинг спектакля вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое четырёх оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\frac{1}{18} ?$

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\frac{1}{12} ?$

в) Найдите наибольшее возможное значение разности старого и нового рейтингов.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Упорядочим оценки: $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{6}$ . Старый рейтинг — среднее всех шести оценок, новый — среднее оценок $a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ . Приведём разность к общему знаменателю $12$ :

$\frac{a _{1} + \dots + a _{6}}{6} - \frac{a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5}}{4} = \frac{2 ( a _{1} + \dots + a _{6} ) - 3 ( a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5} )}{12} = \frac{2 a _{1} + 2 a _{6} - a _{2} - a _{3} - a _{4} - a _{5}}{12} .$

Числитель — целое число, так как все оценки целые.

а) Нет, не может. Если разность равна $\frac{1}{18}$ , то числитель равен

$12 \cdot \frac{1}{18} = \frac{2}{3}$

— это не целое число. Противоречие.

б) Да, может. Нужно, чтобы числитель равнялся $1$ . Возьмём оценки $1, 2, 3, 4, 6, 7$ :

$2 \cdot 1 + 2 \cdot 7 - 2 - 3 - 4 - 6 = 16 - 15 = 1.$

Проверим напрямую: старый рейтинг $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7}{6} = \frac{23}{6}$ , новый $\frac{2 + 3 + 4 + 6}{4} = \frac{15}{4}$ , разность

$\frac{23}{6} - \frac{15}{4} = \frac{46 - 45}{12} = \frac{1}{12} .$

в) Оценка. Оценки целые и различные, поэтому каждая следующая хотя бы на $1$ больше предыдущей: $a_{2} ⩾ a_{1} + 1$ , $a_{3} ⩾ a_{1} + 2$ , $a_{4} ⩾ a_{1} + 3$ , $a_{5} ⩾ a_{1} + 4$ . Тогда

$a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} ⩾ 4 a_{1} + 10,$

и числитель

$2 a_{1} + 2 a_{6} - (a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}) ⩽ 2 a_{1} + 2 a_{6} - 4 a_{1} - 10 = 2 a_{6} - 2 a_{1} - 10 ⩽ 2 \cdot 10 - 2 \cdot 0 - 10 = 10,$

так как $a_{6} ⩽ 10$ и $a_{1} ⩾ 0$ . Значит, разность не больше $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ .

Пример. Все неравенства обращаются в равенства при оценках $0, 1, 2, 3, 4, 10$ . Старый рейтинг $\frac{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 10}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ , новый $\frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{5}{2}$ , разность

$\frac{10}{3} - \frac{5}{2} = \frac{20 - 15}{6} = \frac{5}{6} .$

Ответ: а) нет; б) да; в) $\frac{5}{6}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20