ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Пусть $b_1=304$, $q$ — знаменатель прогрессии. Все члены — натуральные числа, поэтому $q=\frac{b_2}{b_1}$ — положительное рациональное число. Запишем его несократимой дробью $q=\frac{p}{r}$.

Третий член $b_3=304\cdot \frac{p^2}{r^2}$ — натуральное число, а $p^2$ и $r^2$ взаимно просты, значит, $r^2$ делит $304=2^4\cdot 19$. Квадраты, делящие $304$, — это $1$, $4$ и $16$, поэтому $r\in \{1;2;4\}$.

а) Да, может. Возьмём $q=\frac{5}{4}$:

$$b_1=304,b_2=304\cdot \frac{5}{4}=380,b_3=380\cdot \frac{5}{4}=475.$$

Все три члена трёхзначные натуральные.

б) Нет, не может. Пусть $760=b_k$. Так как $760>304$, то $k⩾2$ и

$$q^{k-1}=\frac{760}{304}=\frac{5}{2}.$$

Дробь $\frac{p^{k-1}}{r^{k-1}}$ несократима, поэтому $p^{k-1}=5$ и $r^{k-1}=2$. Это возможно только при $k-1=1$. Значит, $760=b_2$ и $q=\frac{5}{2}$. Но тогда

$$b_3=760\cdot \frac{5}{2}=1900$$

— не трёхзначное число, а в прогрессии не меньше трёх членов. Противоречие.

в) Оценка. Если $q⩽1$, прогрессия не возрастает, и наибольший член равен $304$. Пусть $q>1$, тогда прогрессия возрастает, и её наибольший член — последний. Разберём возможные $r$.

1. $r=1$: $q=p⩾2$, тогда $b_3⩾304\cdot 4=1216$ — не трёхзначное. Таких прогрессий нет.

2. $r=2$: $q=\frac{p}{2}$, $p$ нечётно, $p⩾3$. Четвёртый член $b_4=304\cdot \frac{p^3}{8}=38p^3⩾38\cdot 27=1026$ — не трёхзначный, поэтому членов ровно три. Из $b_3=304\cdot \frac{p^2}{4}=76p^2⩽999$ получаем $p^2⩽13$, то есть $p=3$ и $b_3=684$.

3. $r=4$: $q=\frac{p}{4}$, $p$ нечётно, $p⩾5$. Четвёртый член $304\cdot \frac{p^3}{64}=\frac{19p^3}{4}$ не целый ($p$ нечётно), поэтому членов ровно три. Из $b_3=304\cdot \frac{p^2}{16}=19p^2⩽999$ получаем $p^2⩽52$, то есть $p⩽7$ и $b_3⩽19\cdot 49=931$.

Во всех случаях члены прогрессии не больше $931$.

Пример. $q=\frac{7}{4}$:

$$b_1=304,b_2=304\cdot \frac{7}{4}=532,b_3=532\cdot \frac{7}{4}=931.$$

Все члены трёхзначные натуральные, их три.

Значит, наибольшее возможное число — $931$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $931$.