ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Числа попарно взаимно просты. Отсюда два полезных факта:

• чётных чисел среди них не больше одного (два чётных числа имеют общий делитель $2$);
• чисел, кратных $3$, среди них не больше одного (два таких числа имеют общий делитель $3$).

а) Да, может. Пример: $1,2,3,5,7,11,13,23$. Числа различны, все, кроме $1$, — разные простые, поэтому никакие два не имеют общего делителя, большего $1$. Сумма

$$1+2+3+5+7+11+13+23=65.$$

б) Нет, не может. Чётных чисел не больше одного.

Если чётное число есть, то остальные семь чисел нечётны. Сумма семи нечётных чисел нечётна, и вместе с чётным числом сумма всех восьми нечётна, а $62$ чётно — противоречие.

Если чётных чисел нет, то все восемь чисел — различные нечётные. Их сумма не меньше суммы восьми наименьших нечётных чисел:

$$1+3+5+7+9+11+13+15=64>62$$

— снова противоречие.

в) Оценка. Назовём особыми числа трёх видов: число $1$, чётные числа и нечётные числа, кратные $3$. Единица в наборе одна (числа различны), чётных чисел не больше одного, чисел, кратных $3$, тоже не больше одного. Значит, особых чисел не больше трёх, а остальных — не меньше пяти.

Каждое неособое число больше $1$, нечётно и не делится на $3$, то есть это одно из чисел

$$5,7,11,13,17,19,23,25,\dots$$

Если неособых чисел шесть или больше, то их сумма уже не меньше $5+7+11+13+17+19=72>59$.

Если неособых чисел ровно пять, то их сумма не меньше $5+7+11+13+17=53$. Тогда особых чисел три, по одному каждого вида: единица, чётное число (не меньше $2$) и нечётное число, кратное $3$ (не меньше $3$). Сумма всех чисел не меньше

$$1+2+3+53=59.$$

В обоих случаях сумма не меньше $59$.

Пример. Набор $1,2,3,5,7,11,13,17$: числа различны, все, кроме $1$, — разные простые, поэтому попарно взаимно просты. Сумма

$$1+2+3+5+7+11+13+17=59.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $59$.