ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть $k$ студентов писали обе работы, $p$ — только первую, $q$ — только вторую, $p+q+k=28$. Первую работу писали $p+k$ человек, и сумма баллов за неё равна $15(p+k)$; за вторую — $15(q+k)$.

а) Пусть $5$ студентов писали только первую работу и получили по $0$ баллов, ещё $5$ — только вторую и тоже получили по $0$ баллов. Остальные $18$ писали обе работы: $15$ из них получили по $20$ баллов за каждую работу, а $3$ — по $15$ баллов за каждую.

Первую работу писали $5+18=23$ человека, сумма баллов

$$5\cdot 0+15\cdot 20+3\cdot 15=300+45=345=15\cdot 23,$$

средний балл $15$. Со второй работой всё так же.

Названные баллы: $15$ человек назвали $20$, $3$ человека — $15$, $10$ человек — $0$. Тогда

$$S=\frac{15\cdot 20+3\cdot 15+10\cdot 0}{28}=\frac{345}{28}<15.$$

Числитель тот же, что у среднего по одной работе, а знаменатель больше: $28$ вместо $23$.

б) Нет, не могло. Пусть $S=5$, тогда сумма названных баллов $M=5\cdot 28=140$.

Каждый студент писал хотя бы одну работу. Если бы каждую работу писали не больше $13$ человек, всего студентов было бы не больше $26<28$. Значит, какую-то работу (пусть первую) писали $x⩾14$ человек, и сумма баллов за неё $\Sigma =15x⩾15\cdot 14=210$.

Докажем, что $M⩾\Sigma$. Каждый студент, писавший первую работу, назвал балл не меньше своего балла за неё: если он писал только её — тот же балл, если обе — наибольший из двух. Остальные студенты добавляют в $M$ неотрицательные числа. Поэтому $M⩾\Sigma ⩾210$.

Получаем $140⩾210$ — противоречие.

в) Теперь $k=10$, $p+q=18$.

Оценка. Посчитаем сумму всех выставленных баллов. Всего за первую работу $15(p+10)$, за вторую $15(q+10)$, вместе

$$15(p+q+20)=15\cdot 38=570.$$

С другой стороны, эта сумма состоит из названных баллов всех $28$ студентов и ещё не названных (меньших) баллов тех $10$, кто писал обе работы. Обозначим сумму этих меньших баллов через $m$. Тогда сумма названных баллов равна $570-m$, и

$$S=\frac{570-m}{28}.$$

Каждый из $10$ меньших баллов не больше $20$, поэтому $m⩽200$, и

$$S⩾\frac{570-200}{28}=\frac{370}{28}=\frac{185}{14}.$$

Пример. Равенство достигается, если $10$ студентов, писавших обе работы, получили по $20$ баллов за каждую. Возьмём $p=q=9$. Первую работу писали $19$ человек, сумма баллов должна быть $15\cdot 19=285$, значит, девять студентов, писавших только первую работу, должны набрать $285-200=85$. Подходит набор $5,10,10,10,10,10,10,10,10$: $5+8\cdot 10=85$. Со второй работой — так же.

Проверим: средний балл по каждой работе $\frac{285}{19}=15$. Названные баллы: $10$ раз по $20$ и дважды набор с суммой $85$, их сумма $200+85+85=370$, и

$$S=\frac{370}{28}=\frac{185}{14}.$$

Ответ: а) например, $5$ студентов писали только первую работу на $0$ баллов, $5$ — только вторую на $0$ баллов, $18$ — обе работы: $15$ из них на $20$ и $20$ баллов, $3$ — на $15$ и $15$ баллов; б) нет; в) $\frac{185}{14}$.