ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Числа $B$ и $C$ двузначные. Если вычеркнуть вторую или третью цифру числа $A$, получится число, начинающееся с первой цифры $A$. Если вычеркнуть первую, получатся две последние цифры $A$.

а) Да, может. Возьмём $A=150>140$. Серёжа вычеркнул $5$ и получил $B=10$, Коля вычеркнул $0$ и получил $C=15$:

$$B\cdot C=10\cdot 15=150=A.$$

б) Нет, не может. Если $440⩽A<500$, то первая цифра $A$ равна $4$, а вторая не меньше $4$. Вычеркнув первую цифру, получим число не меньше $40$; вычеркнув вторую или третью — число, начинающееся с $4$, тоже не меньше $40$. Значит, $B⩾40$ и $C⩾40$, и

$$B\cdot C⩾40\cdot 40=1600>A.$$

в) Пример. $A=810$: вычеркнув $0$, получим $81$, вычеркнув $8$, получим $10$, и $81\cdot 10=810$.

Оценка. Докажем, что числа $A$ от $811$ до $899$ не подходят.

Пусть $830⩽A⩽899$, то есть $A=\overline{8bc}$, $b⩾3$. Вычеркнув первую цифру, получим $\overline{bc}⩾30$, вычеркнув другую — число, начинающееся с $8$. Значит, $B⩾30$, $C⩾30$ и

$$B\cdot C⩾30\cdot 30=900>A.$$

Пусть $811⩽A⩽829$, $A=\overline{8bc}$. Вычеркнув первую цифру, получим $\overline{bc}$, где $11⩽\overline{bc}⩽29$; вычеркнув другую — число не меньше $80$. Значит, каждое из чисел $B$, $C$ не меньше $11$.

Если хотя бы одно из них получено без вычёркивания первой цифры, то оно не меньше $80$, и

$$B\cdot C⩾80\cdot 11=880>829⩾A.$$

Значит, оба вычеркнули первую цифру: $B=C=\overline{bc}$ и $A={\overline{bc}}^2$ — точный квадрат. Но между $811$ и $829$ квадратов нет: $28^2=784$, $29^2=841$.

Итак, подходящих $A$ от $811$ до $899$ нет, и наибольшее число $A$, меньшее $900$, равно $810$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $810$.