ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Чётное число очков сдвигает фишку вправо на $2$, $4$ или $6$, нечётное — влево на $1$, $3$ или $5$. Итоговая отметка равна сумме выпавших чётных чисел минус сумма выпавших нечётных.

а) Да, может. Пусть $20$ раз выпало $5$, $5$ раз — $4$ и $5$ раз — $6$. Всего $20+5+5=30$ бросков, а фишка окажется на отметке

$$-20\cdot 5+5\cdot 4+5\cdot 6=-100+20+30=-50.$$

б) Пусть чётных и нечётных выпадений по $n$, всего $2n$ бросков.

Оценка. Разобьём броски на $n$ пар «чётное — нечётное». За одну пару фишка сдвигается на $(\text{чётное})-(\text{нечётное})⩾2-5=-3$, поэтому за все броски отметка не меньше $-3n$. Чтобы попасть в $-50$, нужно $-3n⩽-50$, то есть $n⩾\frac{50}{3}=16\frac{2}{3}$, $n⩾17$.

Кроме того, сдвиг за каждую пару — разность чётного и нечётного чисел, то есть нечётное число. Сумма $n$ нечётных чисел имеет ту же чётность, что и $n$. Отметка $-50$ чётная, значит, $n$ чётно, и $n\ne 17$. Итак, $n⩾18$, бросков не меньше $36$.

Пример. Пусть $18$ раз выпало $5$, $17$ раз — $2$ и $1$ раз — $6$. Чётных и нечётных выпадений по $18$, бросков $36$, отметка

$$-18\cdot 5+17\cdot 2+6=-90+34+6=-50.$$

Значит, наименьшее число бросков равно $36$.

в) Пусть снова чётных и нечётных выпадений по $n$. Обозначим через $a$, $b$ число выпадений $1$ и $3$, через $c$, $d$ — число выпадений $4$ и $6$. Тогда пятёрка выпала $n-a-b$ раз, а двойка — $n-c-d$ раз. Отметка фишки:

$$\begin{array}{c}-a-3b-5(n-a-b)+4c+6d+2(n-c-d)=\\ =4a+2b-5n+2c+4d+2n=4a+2b+2c+4d-3n.\end{array}$$

Оценка. Все шесть граней выпадали разное число раз и хотя бы по разу. Числа $a,b,c,d$ — четыре различных натуральных числа, поэтому $a+b+c+d⩾1+2+3+4=10$. Числа $a$ и $d$ — два различных натуральных числа, поэтому $a+d⩾1+2=3$. Тогда

$$4a+2b+2c+4d=2(a+b+c+d)+2(a+d)⩾2\cdot 10+2\cdot 3=26.$$

Отметка равна $-57$, значит,

$$-57=4a+2b+2c+4d-3n⩾26-3n\Rightarrow 3n⩾83\Rightarrow n⩾28.$$

Выражение $4a+2b+2c+4d$ чётно, поэтому отметка $4a+2b+2c+4d-3n$ имеет ту же чётность, что и $n$. Отметка $-57$ нечётна, значит, $n$ нечётно, и $n⩾29$. Бросков не меньше $2\cdot 29=58$.

Пример. При $n=29$ нужно $4a+2b+2c+4d=87-57=30$. Возьмём $a=1$, $b=3$, $c=2$, $d=4$: $4+6+4+16=30$. Тогда пятёрка выпала $29-1-3=25$ раз, двойка — $29-2-4=23$ раза:

$$\begin{array}{ccccccc}\text{Грань}& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \text{Число выпадений}& 1& 23& 3& 2& 25& 4\end{array}$$

Каждая грань выпала хотя бы раз, все количества различны, чётных выпадений $23+2+4=29$, нечётных $1+3+25=29$, всего $58$ бросков. Отметка:

$$-1\cdot 1-3\cdot 3-25\cdot 5+23\cdot 2+2\cdot 4+4\cdot 6=-135+78=-57.$$

Значит, наименьшее число бросков равно $58$.

Ответ: а) да; б) $36$; в) $58$.