ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Так как $72=8\cdot 9$ и числа $8$ и $9$ взаимно просты, число делится на $72$ тогда и только тогда, когда оно делится и на $8$, и на $9$. Признаки:

• число делится на $8$ тогда и только тогда, когда на $8$ делится число из трёх его последних цифр;
• число делится на $9$ тогда и только тогда, когда на $9$ делится сумма его цифр.

В частности, число, кратное $72$, чётно и оканчивается чётной цифрой.

а) Да, можно. Вычеркнем цифры $2$, $7$ и $9$, получим число $134568$. Проверим: последние три цифры образуют $568=8\cdot 71$, сумма цифр $1+3+4+5+6+8=27$ делится на $9$. Значит, $134568$ делится на $72$:

$$134568=72\cdot 1869.$$

Как мы его нашли: девятку в конце вычеркнуть обязательно (число должно быть чётным); $678$ не делится на $8$, а $568$ делится — поэтому вычёркиваем $7$; у числа $1234568$ сумма цифр $29$, и после вычёркивания $2$ она становится $27$.

б) Нет, нельзя. Последняя цифра полученного числа должна быть чётной. Все чётные цифры числа $846927531$ — это $8,4,6,2$, и все они стоят раньше цифр $7,5,3,1$. Поэтому цифры $7,5,3,1$ придётся вычеркнуть, и полученное число составлено из некоторых цифр числа $84692$ (в том же порядке).

Сумма цифр числа $84692$ равна $8+4+6+9+2=29$. Сумма оставшихся цифр должна делиться на $9$ и быть положительной, то есть равна $9$, $18$ или $27$. Заметим, что $9$ — единственная нечётная цифра среди $8,4,6,9,2$.

• Сумма $27$: вычеркнули цифры с суммой $2$, то есть только $2$. Осталось $8469$ — нечётное число.
• Сумма $18$: вычеркнули цифры с суммой $11$. Сумма нечётна, поэтому среди вычеркнутых есть $9$, а остальные вычеркнутые дают $2$ — это цифра $2$. Осталось $846=8\cdot 105+6$ — на $8$ не делится.
• Сумма $9$: она нечётна, поэтому среди оставшихся есть $9$, а остальные оставшиеся дают $0$. Осталось число $9$ — нечётное.

Ни в одном случае число не делится на $72$.

в) Все девять цифр числа $124875963$ различны и отличны от нуля, поэтому у полученного числа цифры тоже различны и ненулевые.

Оценка. Докажем, что остаться должно не меньше четырёх цифр.

Однозначное число меньше $72$ и на $72$ не делится.

Единственное двузначное число, кратное $72$, — это $72$. В числе $124875963$ двойка стоит раньше семёрки, поэтому получить $72$ нельзя.

Трёхзначные числа, кратные $72$: $144,216,288,360,432,504,576,648,720,792,864,936$. Числа с нулём или с повторяющимися цифрами отбрасываем, остаются $216,432,576,648,792,864,936$. Посмотрим, в каком порядке цифры стоят в числе $124875963$:

• $216$: в исходном числе $1$ стоит раньше $2$;
• $432$ и $792$: в исходном числе $2$ стоит раньше $4$ и раньше $7$, а в этих числах двойка последняя;
• $648$ и $864$: в исходном числе $4$ стоит раньше $6$ и раньше $8$, а в этих числах четвёрка идёт после них;
• $576$: в исходном числе $7$ стоит раньше $5$;
• $936$: в исходном числе $6$ стоит раньше $3$.

Ни одно из них получить нельзя. Значит, остаётся хотя бы $4$ цифры, и вычеркнуть можно не больше $9-4=5$ цифр.

Пример. Вычеркнем пять цифр $1$, $2$, $7$, $5$, $3$, получим $4896$. Последние три цифры дают $896=8\cdot 112$, сумма цифр $4+8+9+6=27$. Значит,

$$4896=72\cdot 68.$$

Итак, наибольшее количество вычеркнутых цифр равно $5$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $5$.