Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют S — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2023 развёрнутое

Для чисел $A$ и $B,$ состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46.$

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S = 100 ?$

б) Существуют ли пятизначные числа $A$ и $B,$ для которых $S = 400 ?$

в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой $S$ для некоторых четырёхзначных чисел $A$ и $B ?$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое суммы $S$ — произведение двух цифр, поэтому оно не больше $9 \cdot 9 = 81$ . Если же произведение не равно $81$ , то хотя бы одна из двух цифр не больше $8$ , и произведение не больше $9 \cdot 8 = 72$ .

а) Да, существуют. Возьмём $A = 992$ и $B = 555$ :

$S = 9 \cdot 5 + 9 \cdot 5 + 2 \cdot 5 = (9 + 9 + 2) \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100.$

б) Нет, не существуют. У пятизначных чисел пять пар цифр.

Если все пять произведений равны $81$ , то $S = 5 \cdot 81 = 405 \neq = 400$ .

Если хотя бы одно произведение не равно $81$ , то оно не больше $72$ , а остальные четыре не больше $81$ :

$S ⩽ 4 \cdot 81 + 72 = 324 + 72 = 396 < 400.$

В обоих случаях $S \neq = 400$ .

в) Да, верно. Покажем, как получить каждое число от $1$ до $260$ .

Шаг 1: двузначные числа дают все суммы от $1$ до $90$ .

Число $k$ от $1$ до $9$ получается из чисел $k 0$ и $10$ : $S = k \cdot 1 + 0 \cdot 0 = k$ .

Число вида $9 a + j$ , где $1 ⩽ a ⩽ 9$ и $1 ⩽ j ⩽ 9$ , получается из чисел $9 j$ и $a 1$ : $S = 9 \cdot a + j \cdot 1 = 9 a + j$ . Так получаются все числа от $9 \cdot 1 + 1 = 10$ до $9 \cdot 9 + 9 = 90$ .

Шаг 2: переход к четырёхзначным числам. Пусть двузначные числа $X$ и $Y$ дают сумму $s$ от $1$ до $90$ . Припишем к ним справа по две цифры — к первым двум парам цифр добавятся ещё две пары:

припишем $00$ и $00$ : получим четырёхзначные числа с суммой $s$ — это все числа от $1$ до $90$ ;
припишем $99$ к $X$ и $91$ к $Y$ : добавится $9 \cdot 9 + 9 \cdot 1 = 90$ , получим $s + 90$ — это все числа от $91$ до $180$ ;
припишем $99$ и $99$ : добавится $9 \cdot 9 + 9 \cdot 9 = 162$ , получим $s + 162$ — это все числа от $163$ до $252$ .

Например, $200 = 162 + 38 = 162 + 9 \cdot 4 + 2$ : берём $X = 92$ , $Y = 41$ и получаем числа $9299$ и $4199$ , для них $S = 9 \cdot 4 + 2 \cdot 1 + 9 \cdot 9 + 9 \cdot 9 = 200$ .

Первые цифры чисел $X$ и $Y$ из шага 1 не равны нулю, поэтому все полученные числа действительно четырёхзначные. Вместе три серии дают все числа от $1$ до $252$ .

Шаг 3: числа от $253$ до $260$ . Подберём их отдельно:

$A 99929984999399859992999399949977 B 99959995999499869997999599949977 Произведения цифр 81 + 81 + 81 + 10 81 + 81 + 72 + 20 81 + 81 + 81 + 12 81 + 81 + 64 + 30 81 + 81 + 81 + 14 81 + 81 + 81 + 15 81 + 81 + 81 + 16 81 + 81 + 49 + 49 S 253254255256257258259260$

Значит, любое натуральное число от $1$ до $260$ является суммой $S$ для некоторых четырёхзначных чисел $A$ и $B$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20