Юра и Оля играют в числа. Юра записывает различные натуральные числа, которые оканчиваются цифрой 6, а Оля — которые оканчиваются… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом средняя 2025 развёрнутое

Юра и Оля играют в числа. Юра записывает различные натуральные числа, которые оканчиваются цифрой 6, а Оля — которые оканчиваются цифрой 8. Через некоторое время оказалось, что всего записано 50 чисел, а их сумма равна 8282.

а) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой 6, и чисел, оканчивающихся цифрой 8, записано поровну?

б) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой 6, записано ровно 49?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся цифрой 8, могло быть записано?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых. Это даст нам пункт а), а для пунктов б) и в) будем оценивать сумму снизу.

Полезное наблюдение: если $k$ различных чисел, оканчивающихся на одну и ту же цифру, выписать по возрастанию, то каждое следующее хотя бы на $10$ больше предыдущего. Поэтому их сумма не меньше суммы $k$ самых маленьких таких чисел.

а) Нет, не могло. Если чисел каждого вида по $25$ , то последняя цифра суммы такая же, как у числа

$25 \cdot 6 + 25 \cdot 8 = 350,$

то есть $0$ . А число $8282$ оканчивается на $2$ . Противоречие.

б) Нет, не могло. Сумма $49$ различных натуральных чисел, оканчивающихся на $6$ , не меньше суммы чисел $6, 16, 26, \dots, 486$ . Это арифметическая прогрессия с разностью $10$ , её сумма

$\frac{6 + 486}{2} \cdot 49 = 246 \cdot 49 = 12054 > 8282.$

Даже без пятидесятого числа сумма уже больше $8282$ .

в) Назовём числа, оканчивающиеся на $6$ , числами «Ю», а оканчивающиеся на $8$ — числами «О». Пусть чисел «Ю» $x$ , а чисел «О» $50 - x$ .

Оценка. Сумма чисел «Ю» не меньше суммы $6 + 16 + \dots + (10 x - 4)$ :

$\frac{6 + ( 10 x - 4 )}{2} \cdot x = (5 x + 1) x = 5 x^{2} + x .$

Сумма чисел «О» не меньше суммы $8 + 18 + \dots + (498 - 10 x)$ (это $50 - x$ первых чисел, оканчивающихся на $8$ ):

$\frac{8 + ( 498 - 10 x )}{2} \cdot (50 - x) = (253 - 5 x) (50 - x) = 5 x^{2} - 503 x + 12650.$

Вместе они не больше $8282$ :

$(5 x^{2} + x) + (5 x^{2} - 503 x + 12650) ⩽ 8282, 10 x^{2} - 502 x + 4368 ⩽ 0, 5 x^{2} - 251 x + 2184 ⩽ 0.$

Дискриминант $25 1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2184 = 63001 - 43680 = 19321 = 13 9^{2}$ , корни $\frac{251 - 139}{10} = 11, 2$ и $\frac{251 + 139}{10} = 39$ . Значит,

$(x - 39) (5 x - 56) ⩽ 0 \Leftrightarrow 11, 2 ⩽ x ⩽ 39.$

Итак, чисел «Ю» не больше $39$ , а чисел «О» не меньше $50 - 39 = 11$ .

Пример. При $x = 39$ оценка обращается в равенство, поэтому возьмём самые маленькие числа каждого вида: «Ю» — $6, 16, \dots, 386$ ( $39$ чисел), «О» — $8, 18, \dots, 108$ ( $11$ чисел). Все $50$ чисел различны, их сумма

$\frac{6 + 386}{2} \cdot 39 + \frac{8 + 108}{2} \cdot 11 = 196 \cdot 39 + 58 \cdot 11 = 7644 + 638 = 8282.$

Значит, наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $8$ , равно $11$ .

Ответ: а) нет; б) нет; в) $11$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20