По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом сложная 2020 развёрнутое

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков — разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.

а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?

б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?

в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Каждый отдаёт четверть конфет соседу справа, значит, получает четверть конфет от соседа слева. Если у ребёнка было $x$ конфет, а у его левого соседа $y$ , то после команды у него станет

$x - \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = \frac{3 x + y}{4} .$

Каждый отдал натуральное число конфет, поэтому число конфет у каждого делится на $4$ . Пусть у каждого мальчика было $m$ конфет.

Факт 1. Не бывает двух мальчиков, у каждого из которых левый сосед — мальчик. Иначе у обоих после команды станет $\frac{3 m + m}{4} = m$ конфет — поровну, а у мальчиков должно стать разное число.

Факт 2. Не бывает двух девочек, у каждой из которых левый сосед — мальчик. Иначе у девочек с $x_{1} \neq = x_{2}$ конфетами станет $\frac{3 x _{1} + m}{4} \neq = \frac{3 x _{2} + m}{4}$ — разное число, а у девочек должно стать поровну.

Теперь посмотрим на правого соседа каждого мальчика. Если это мальчик, то у этого соседа левый сосед — мальчик; по факту 1 так бывает не больше одного раза. Если это девочка, то у неё левый сосед — мальчик; по факту 2 так тоже бывает не больше одного раза. У разных мальчиков разные правые соседи, поэтому мальчиков не больше $1 + 1 = 2$ . По условию их хотя бы двое — значит, мальчиков ровно двое. Причём справа от одного из них стоит мальчик, то есть мальчики стоят рядом. Если идти вправо, порядок такой: $М_{1}$ , $М_{2}$ , затем все девочки, затем снова $М_{1}$ .

а) Да, может. Мальчиков двое, девочек тоже двое: по кругу вправо стоят $М_{1}$ , $М_{2}$ , $Д_{1}$ , $Д_{2}$ (справа от $Д_{2}$ стоит $М_{1}$ ).

Как найти пример: дадим мальчикам по $4$ конфеты, девочкам $x$ и $y$ . После команды у $Д_{1}$ станет $\frac{3 x + 4}{4}$ , у $Д_{2}$ — $\frac{3 y + x}{4}$ . Приравняем: $3 x + 4 = 3 y + x$ , то есть $y = \frac{2 x + 4}{3}$ . При $x = 16$ получаем $y = 12$ .

Проверим пример полностью:

$Ребёнок М_{1} М_{2} Д_{1} Д_{2} Было 441612 Отдал 1143 Получил 3114 Стало 641313$

До команды у мальчиков поровну ( $4$ и $4$ ), у девочек разное ( $16$ и $12$ ). Каждый отдал натуральное число конфет. После команды у девочек поровну ( $13$ и $13$ ), у мальчиков разное ( $6$ и $4$ ). Все условия выполнены.

б) Нет, не может. Мы доказали, что мальчиков ровно двое, а девочек по условию хотя бы две.

в) Да, может. Мальчиков двое, значит, девочек четыре. Порядок вправо: $М_{1}$ , $М_{2}$ , $Д_{1}$ , $Д_{2}$ , $Д_{3}$ , $Д_{4}$ . Пусть у мальчиков по $x$ конфет, у девочек $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ .

После команды у девочек станет $\frac{3 y _{1} + x}{4}$ , $\frac{3 y _{2} + y _{1}}{4}$ , $\frac{3 y _{3} + y _{2}}{4}$ , $\frac{3 y _{4} + y _{3}}{4}$ , а у мальчиков — $\frac{3 x + y _{4}}{4}$ и $\frac{3 x + x}{4} = x$ . Мальчики будут с разным числом конфет, если $y_{4} \neq = x$ . У девочек должно стать поровну:

$3 y_{1} + x = 3 y_{2} + y_{1} = 3 y_{3} + y_{2} = 3 y_{4} + y_{3} .$

Выразим всё через $y_{3}$ и $y_{4}$ :

$3 y_{3} + y_{2} = 3 y_{4} + y_{3} \Rightarrow y_{2} = 3 y_{4} - 2 y_{3},$

$3 y_{2} + y_{1} = 3 y_{4} + y_{3} \Rightarrow y_{1} = 3 y_{4} + y_{3} - 3 (3 y_{4} - 2 y_{3}) = 7 y_{3} - 6 y_{4},$

$3 y_{1} + x = 3 y_{4} + y_{3} \Rightarrow x = 3 y_{4} + y_{3} - 3 (7 y_{3} - 6 y_{4}) = 21 y_{4} - 20 y_{3} .$

Всего конфет:

$2 x + y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} = (42 y_{4} - 40 y_{3}) + (7 y_{3} - 6 y_{4}) + (3 y_{4} - 2 y_{3}) + y_{3} + y_{4} = 40 y_{4} - 34 y_{3} .$

Приравняем к $328$ : $40 y_{4} - 34 y_{3} = 328$ , то есть $20 y_{4} = 17 y_{3} + 164$ . Правая часть должна делиться на $10$ , поэтому $17 y_{3}$ оканчивается на $6$ , а значит, $y_{3}$ оканчивается на $8$ (из $7 \cdot y_{3}$ последняя цифра $6$ получается только при $7 \cdot 8 = 56$ ). Кроме того, $y_{3}$ делится на $4$ .

При $y_{3} = 8$ получаем $y_{4} = \frac{136 + 164}{20} = 15$ — не делится на $4$ . При $y_{3} = 28$ получаем $y_{4} = \frac{476 + 164}{20} = 32$ , и тогда

$y_{2} = 96 - 56 = 40, y_{1} = 196 - 192 = 4, x = 672 - 560 = 112.$

Проверим пример полностью:

$Ребёнок М_{1} М_{2} Д_{1} Д_{2} Д_{3} Д_{4} Было 1121124402832 Отдал 282811078 Получил 828281107 Стало 9211231313131$

Девочек $4$ , мальчиков $2$ — вдвое меньше. До команды у мальчиков поровну, у девочек разное ( $4$ , $40$ , $28$ , $32$ ). Каждый отдал натуральное число конфет. После команды у всех девочек по $31$ , у мальчиков разное ( $92$ и $112$ ). Всего конфет $112 + 112 + 4 + 40 + 28 + 32 = 328$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20