ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть число равно $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a⩾1$, а сумма цифр равна $a+b+c$.

а) Да, могло. Если частное равно $13$, то

$$100a+10b+c=13(a+b+c)\iff 87a=3b+12c\iff 29a=b+4c.$$

Так как $b$ и $c$ — цифры, $b+4c⩽9+36=45$, поэтому $a=1$ и $b+4c=29$. Подходит, например, $c=7$, $b=1$. Проверим число $117$:

$$1+1+7=9,117:9=13.$$

б) Нет, не могло. Если частное равно $6$, то

$$100a+10b+c=6(a+b+c)\iff 94a+4b=5c.$$

Число трёхзначное, поэтому $a⩾1$ и левая часть не меньше $94$. А $c⩽9$, поэтому правая часть не больше $45$. Противоречие.

в) Число имеет вид $A=\overline{6bc}=600+10b+c$. Оно не делится на $100$, значит, $A\ne 600$, то есть $b+c⩾1$. Сумма цифр $s=6+b+c⩾7$, частное равно $\frac{A}{s}$.

Пример. $A=630$: сумма цифр $s=9$, частное $630:9=70$, и $630$ не делится на $100$.

Оценка. Докажем, что целое частное не больше $70$. Заметим, что $A⩽699$.

Если $s⩾10$, то

$$\frac{A}{s}⩽\frac{699}{10}<70.$$

Если $s⩽9$, то $1⩽b+c⩽3$, и чисел немного — переберём их все:

• $b+c=1$, $s=7$: числа $601$ и $610$; $601=7\cdot 85+6$, $610=7\cdot 87+1$ — на $7$ не делятся;
• $b+c=2$, $s=8$: числа $602$, $611$, $620$; $602=8\cdot 75+2$, $611$ нечётно, $620=8\cdot 77+4$ — на $8$ не делятся;
• $b+c=3$, $s=9$: числа $603$, $612$, $621$, $630$ делятся на $9$, частные $67$, $68$, $69$, $70$.

Во всех случаях целое частное не больше $70$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $70$.