ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Числа $B$ и $C$ двузначные. Если вычеркнуть первую цифру числа $A=\overline{abc}$, получится $\overline{bc}$ — это двузначное число, только если $b\ne 0$. Если вычеркнуть вторую или третью цифру, число начинается с цифры $a$.

а) Да, может. Пусть $A=150$. Серёжа вычеркнул $0$ и получил $B=15$, Коля вычеркнул $5$ и получил $C=10$. Тогда

$$B\cdot C=15\cdot 10=150=A,$$

и $A=150>140$. (Подходит и $A=625=25\cdot 25$.)

б) Нет, не может. Если $440⩽A<500$, то $A=\overline{4bc}$, где $b⩾4$. Вычеркнув первую цифру, получим $\overline{bc}⩾40$. Вычеркнув вторую или третью, получим число, начинающееся с $4$, тоже не меньше $40$. Значит, $B⩾40$ и $C⩾40$, откуда

$$B\cdot C⩾40\cdot 40=1600>500>A.$$

Равенство $A=B\cdot C$ невозможно.

в) Пример. $A=810$: вычеркнув $0$, получим $B=81$, вычеркнув $8$, получим $C=10$, и $81\cdot 10=810$.

Оценка. Докажем, что при $810<A<900$ равенство $A=B\cdot C$ невозможно. Такое число имеет вид $A=\overline{8bc}$. Разберём, кто вычеркнул первую цифру.

1. Никто. Тогда $B$ и $C$ начинаются с $8$, то есть $B⩾80$, $C⩾80$ и $B\cdot C⩾6400>A$.

2. Ровно один, скажем Серёжа. Тогда $B=\overline{bc}=10b+c$, где $b⩾1$, а $C⩾80$. Получаем $A=B\cdot C⩾80(10b+c)$:

$$800+10b+c⩾800b+80c\iff 790b+79c⩽800.$$

При $b⩾2$ левая часть не меньше $1580$, поэтому $b=1$. Тогда $79c⩽10$, то есть $c=0$, и $A=810$ — а мы предположили $A>810$. Противоречие.

3. Оба. Тогда $B=C=\overline{bc}$ и $A=B^2$. Из $810<B^2<900$ и $28^2=784$, $30^2=900$ следует $B=29$, $A=841$. Но, вычеркнув первую цифру из $841$, получим $41$, а не $29$. Противоречие.

Значит, среди чисел от $811$ до $899$ подходящих нет, и наибольшее $A$, меньшее $900$, равно $810$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $810$.