ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала докажем вспомогательное утверждение: если $\frac{a}{b}$ — правильная несократимая дробь, то и $\frac{a+b}{2a+b}$ — правильная несократимая дробь.

Дробь правильная, так как $a+b<2a+b$ (ведь $a>0$). Несократимость проверим алгоритмом Евклида — вычитание одного числа из другого не меняет НОД:

$$\text{НОД}(a+b,2a+b)=\text{НОД}(a+b,a)=\text{НОД}(b,a)=1.$$

Значит, ходы можно делать один за другим, и после хода числитель и знаменатель равны ровно $a+b$ и $2a+b$ — сокращать нечего.

а) Да, можно. Сделаем три хода:

$$\frac{1}{5}\to \frac{1+5}{2+5}=\frac{6}{7}\to \frac{6+7}{12+7}=\frac{13}{19}\to \frac{13+19}{26+19}=\frac{32}{45}.$$

Все промежуточные дроби правильные и несократимые, так что каждый ход разрешён.

б) Нет, нельзя. Пусть после первого хода получилась дробь $\frac{a}{b}$. Она получена ходом, поэтому по утверждению она правильная: $a<b$. После второго хода получаем несократимую дробь $\frac{a+b}{2a+b}$. Несократимые дроби равны, только если у них одинаковые числители и знаменатели, поэтому

$$\{\begin{array}{l}a+b=9\\ 2a+b=14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=5\\ b=4.\end{array}$$

Но тогда $a>b$, то есть дробь $\frac{5}{4}$ неправильная, — противоречие.

в) За два хода из дроби $\frac{a}{b}$ получается

$$\frac{a}{b}\to \frac{a+b}{2a+b}\to \frac{(a+b)+(2a+b)}{2(a+b)+(2a+b)}=\frac{3a+2b}{4a+3b}.$$

Эта дробь несократима, поэтому $\frac{c}{d}$ получается за два хода тогда и только тогда, когда найдутся натуральные $a<b$ с $\text{НОД}(a,b)=1$, для которых

$$c=3a+2b,d=4a+3b.$$

Решим эту систему относительно $a$ и $b$: умножим первое уравнение на $3$, второе на $2$ и вычтем, получим $a=3c-2d$; аналогично $b=3d-4c$. Проверка: $3(3c-2d)+2(3d-4c)=c$ и $4(3c-2d)+3(3d-4c)=d$. Значит, исходная дробь определяется однозначно:

$$a=3c-2d,b=3d-4c.$$

Выясним, когда эти числа подходят:

• $a>0\iff 3c>2d\iff \frac{c}{d}>\frac{2}{3}$;
• $b>0\iff 4c<3d\iff \frac{c}{d}<\frac{3}{4}$;
• $a<b\iff 3c-2d<3d-4c\iff 7c<5d\iff \frac{c}{d}<\frac{5}{7}$;
• $\text{НОД}(a,b)=1$ выполняется само: общий делитель чисел $a$ и $b$ делит $c=3a+2b$ и $d=4a+3b$, а $\text{НОД}(c,d)=1$.

Так как $\frac{2}{3}<0,68$ и $\frac{5}{7}<\frac{3}{4}$ (ведь $20<21$), для дробей больше $0,68$ остаётся одно условие $\frac{c}{d}<\frac{5}{7}$.

Оценка. Любая несократимая дробь $\frac{c}{d}$ с $0,68<\frac{c}{d}<\frac{5}{7}$ получается за два хода: числа $a=3c-2d$, $b=3d-4c$ натуральные, $a<b$, дробь $\frac{a}{b}$ несократима, и два хода дают из неё $\frac{c}{d}$. Например, для $\frac{7}{10}$ получаем $a=1$, $b=2$: $\frac{1}{2}\to \frac{3}{4}\to \frac{7}{10}$. Значит, искомая дробь не меньше $\frac{5}{7}$.

Пример. Дробь $\frac{5}{7}\approx 0,714$ несократима и больше $0,68$. Для неё $a=15-14=1$, $b=21-20=1$, то есть единственная возможная исходная дробь — $\frac{1}{1}$, а она неправильная. Значит, $\frac{5}{7}$ получить нельзя.

Итак, наименьшая такая дробь — $\frac{5}{7}$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{5}{7}$.