ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Обозначим $N=n(n+1)(n+2)$. Среди трёх последовательных чисел на $5$ делится не больше одного: два кратных $5$ числа отличаются хотя бы на $5$. Поэтому все множители $5$ в произведении $N$ даёт одно число из тройки.

а) Да, может. Число оканчивается на $500$ тогда и только тогда, когда оно имеет вид $1000k+500=500(2k+1)$, то есть делится на $500$, а частное нечётно.

Возьмём числа $123$, $124$, $125$:

$$123\cdot 124\cdot 125=123\cdot 31\cdot 4\cdot 125=500\cdot (123\cdot 31)=500\cdot 3813=1906500.$$

Частное $3813$ нечётно, и произведение действительно оканчивается на $500$.

б) Нет, не может. Пусть $N$ оканчивается на $1250$. Тогда

$$N=10000k+1250=1250(8k+1)=2\cdot 625\cdot (8k+1).$$

Отсюда два вывода: $N$ делится на $625=5^4$, а $\frac{N}{2}=625(8k+1)$ — нечётное число, то есть $N$ не делится на $4$.

На $5$ делится только одно из трёх чисел, значит, именно оно делится на $625$. Единственное трёхзначное число, кратное $625$, — это само $625$. Возможны тройки

$$623,624,625;624,625,626;625,626,627.$$

В первых двух есть число $624=16\cdot 39$, поэтому $N$ делится на $16$ — а должно не делиться даже на $4$. Противоречие.

Остаётся третья тройка:

$$625\cdot 626\cdot 627=245313750.$$

Это число оканчивается на $3750$, а не на $1250$. Значит, такого произведения нет.

в) Число $N$ оканчивается на $4000$ тогда и только тогда, когда

$$N=10000k+4000=2000(5k+2)=16\cdot 125\cdot (5k+2).$$

Значит, $N$ делится на $16$ и на $125$, но не делится на $625$ (множитель $5k+2$ на $5$ не делится).

Шаг 1: кратное 125. Все множители $5$ даёт одно число тройки, поэтому оно делится на $125$, но не на $625$. Трёхзначные числа, кратные $125$: $125$, $250$, $375$, $500$, $625$, $750$, $875$. Число $625$ не подходит. Обозначим подходящее кратное через $m$; оно может стоять в тройке первым, вторым или третьим — всего $6\cdot 3=18$ троек.

Шаг 2: делимость на 16. Посчитаем, сколько множителей $2$ даёт каждая тройка. Для этого разложим чётные числа:

$$124=2^2\cdot 31,126=2\cdot 63,248=2^3\cdot 31,250=2\cdot 125,252=2^2\cdot 63,374=2\cdot 187,376=2^3\cdot 47,$$

$$498=2\cdot 249,500=2^2\cdot 125,502=2\cdot 251,748=2^2\cdot 187,750=2\cdot 375,752=2^4\cdot 47,874=2\cdot 437,876=2^2\cdot 219.$$

В таблице — показатель степени двойки в произведении тройки:

$$\begin{array}{cccc}& m-2,m-1,m& m-1,m,m+1& m,m+1,m+2\\ m=125& 2& 3& 1\\ m=250& 4& 1& 3\\ m=375& 1& 4& 3\\ m=500& 3& 2& 3\\ m=750& 3& 1& 5\\ m=875& 1& 3& 2\end{array}$$

Делимость на $16=2^4$ есть только у троек $248,249,250$; $374,375,376$ и $750,751,752$.

Шаг 3: проверка оставшихся. Вычислим произведения:

$$248\cdot 249\cdot 250=62000\cdot 249=15438000,$$

$$374\cdot 375\cdot 376=(375^2-1)\cdot 375=140624\cdot 375=52734000,$$

$$750\cdot 751\cdot 752=564000\cdot 751=423564000.$$

Первое оканчивается на $8000$ — не подходит. Второе и третье оканчиваются на $4000$. Все числа $374,375,376$ и $750,751,752$ трёхзначные.

Значит, $n=374$ или $n=750$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $374$; $750$.