ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое — число, записанное одними единицами: $1$, $11$, $111$, $1111$, … Слагаемое из $k$ единиц забирает $k$ единиц с доски.

Сумма равна $150$, поэтому слагаемых $1111$ и длиннее быть не может. Слагаемое $111$ может встретиться не больше одного раза: два таких слагаемых уже дают $222>150$. Значит, слагаемые — это числа $1$ и $11$ и, возможно, одно число $111$.

Пусть $x$ слагаемых равны $11$, $y$ слагаемых равны $1$, а $z$ ($z=0$ или $z=1$) — число слагаемых $111$. Тогда

$$n=y+2x+3z,y+11x+111z=150.$$

Заметим ещё, что каждое слагаемое не меньше количества своих единиц ($1⩾1$, $11⩾2$, $111⩾3$), поэтому сумма любых слагаемых не меньше числа единиц, из которых они составлены.

Порядок слагаемых не важен: группы единиц можно расположить на доске подряд в любом порядке.

а) Да, могла. Пусть слагаемого $111$ нет. Тогда $y=60-2x$, и

$$11x+(60-2x)=150\iff 9x=90\iff x=10,y=40.$$

Пример: $10$ слагаемых $11$ и $40$ слагаемых $1$:

$$\underset{10}{\underbrace{11+11+\dots +11}}+\underset{40}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=110+40=150.$$

Использовано $10\cdot 2+40=60$ единиц — ровно столько, сколько на доске.

б) Нет, не могла.

Если слагаемое $111$ есть, то остальные слагаемые составлены из $80-3=77$ единиц и в сумме дают $150-111=39$. Но сумма слагаемых не меньше числа их единиц, то есть не меньше $77>39$ — противоречие.

Если слагаемого $111$ нет, то $y=80-2x$, и

$$11x+(80-2x)=150\iff 9x=70.$$

Число $70$ не делится на $9$, поэтому целого $x$ нет — снова противоречие.

в) Разберём два случая.

Случай 1: слагаемого $111$ нет. Тогда $y=n-2x$ и

$$11x+(n-2x)=150\iff n=150-9x.$$

Число единичных слагаемых $y=150-11x$ должно быть неотрицательным: $11x⩽150$, откуда $x⩽13$ (так как $11\cdot 13=143$, а $11\cdot 14=154$). Значит, $x$ может быть любым от $0$ до $13$, и каждое такое $x$ действительно даёт пример: $x$ слагаемых $11$ и $150-11x$ слагаемых $1$ в сумме дают $150$ и используют $2x+150-11x=150-9x$ единиц. Получаем

$$n=150,141,132,123,114,105,96,87,78,69,60,51,42,33.$$

Случай 2: слагаемое $111$ есть (одно). Остальные слагаемые дают $150-111=39$, то есть $11x+y=39$. Слагаемых $11$ не больше трёх, ведь $4\cdot 11=44>39$. Переберём:

• $x=0$: $y=39$, $n=3+39=42$;
• $x=1$: $y=28$, $n=3+2+28=33$;
• $x=2$: $y=17$, $n=3+4+17=24$;
• $x=3$: $y=6$, $n=3+6+6=15$.

Например, при $n=15$: $111+11+11+11+1+1+1+1+1+1=150$.

Новые значения по сравнению со случаем 1 — это $15$ и $24$.

Проверка. Число из $k$ единиц имеет сумму цифр $k$, поэтому даёт при делении на $9$ тот же остаток, что и $k$. Значит, сумма всех слагаемых даёт тот же остаток при делении на $9$, что и $n$. Так как $150=9\cdot 16+6$, все возможные $n$ дают остаток $6$ — и действительно, все найденные числа имеют вид $9m+6$.

Итак, $n$ может быть любым из чисел $15,24,33,\dots ,150$, то есть любым числом вида $9m+6$ при $1⩽m⩽16$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $15,24,33,42,51,60,69,78,87,96,105,114,123,132,141,150$.