ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Кучка, в которой камней меньше, должна весить больше. Значит, камни в первой кучке должны быть в среднем тяжелее, чем во второй, а во второй — тяжелее, чем в третьей. В пунктах а) и б) нужно построить пример, в пункте в) — найти оценку и пример.

а) Да, могло. Возьмём $n_1=1$, $n_2=2$, $n_3=3$.

В третью кучку положим три камня по $100$ г: $S_3=300$. Во вторую — два камня по $200$ г: $S_2=400$. В первую — один камень весом $500$ г: $S_1=500$.

Проверим: каждый камень весит не меньше $100$ г; $n_1<n_2<n_3$, так как $1<2<3$; и $S_1>S_2>S_3$, так как $500>400>300$.

б) Да, могло. Объясним, как построить пример.

Пусть $n_1=N$, $n_2=N+1$, $n_3=N+2$, где $N$ подберём позже. Сначала положим во все кучки камни по $100$ г. Тогда

$$S_1=100N,S_2=100N+100,S_3=100N+200.$$

Если заменить в кучке один камень весом $100$ г на камень весом $105$ г, вес кучки вырастет на $5$ г.

Чтобы вторая кучка стала тяжелее третьей, её вес нужно увеличить больше чем на $100$ г. Для этого хватит $21$ замены: $21\cdot 5=105>100$. Тогда $S_2=100N+205$.

Чтобы первая кучка стала тяжелее второй, её вес нужно увеличить больше чем на $205$ г. Хватит $42$ замен: $42\cdot 5=210>205$. Тогда $S_1=100N+210$. Для этого в первой кучке должно быть хотя бы $42$ камня, возьмём $N=42$.

Пример:

• первая кучка: $42$ камня по $105$ г, $S_1=42\cdot 105=4410$;
• вторая кучка: $21$ камень по $105$ г и $22$ камня по $100$ г, $S_2=2205+2200=4405$;
• третья кучка: $44$ камня по $100$ г, $S_3=4400$.

Проверим: каждый камень весит от $100$ до $105$ г; $n_1=42<n_2=43<n_3=44$; $4410>4405>4400$, то есть $S_1>S_2>S_3$.

в) Оценка. Каждый камень весит не меньше $100$ г и не больше $k$ г, поэтому $k⩾100$.

Пусть $k=100$. Тогда каждый камень весит ровно $100$ г, и

$$S_1=100n_1,S_2=100n_2,S_3=100n_3.$$

Из $n_1<n_2<n_3$ получаем $S_1<S_2<S_3$, а это противоречит условию $S_1>S_2>S_3$. Значит, $k\ne 100$, и так как $k$ целое, $k⩾101$.

Пример. Покажем, что при $k=101$ такое возможно. Построим пример так же, как в пункте б). Теперь замена камня $100$ г на камень $101$ г увеличивает вес кучки на $1$ г.

Пусть $n_1=N$, $n_2=N+1$, $n_3=N+2$, сначала все камни по $100$ г. Вторую кучку нужно утяжелить больше чем на $100$ г — сделаем $101$ замену, тогда $S_2=100N+201$. Первую кучку нужно утяжелить больше чем на $201$ г — сделаем $202$ замены, тогда $S_1=100N+202$. Возьмём $N=202$:

• первая кучка: $202$ камня по $101$ г, $S_1=202\cdot 101=20402$;
• вторая кучка: $101$ камень по $101$ г и $102$ камня по $100$ г, $S_2=10201+10200=20401$;
• третья кучка: $204$ камня по $100$ г, $S_3=20400$.

Проверим: каждый камень весит от $100$ до $101$ г; $202<203<204$; $20402>20401>20400$. Все условия выполнены.

Значит, наименьшее целое $k$ равно $101$.

Ответ: а) да; б) да; в) $101$.