На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2025 развёрнутое

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 21.

a) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 16?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию: $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{10}$ . По условию

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} = 6 \cdot 7 = 42, a_{5} + a_{6} + \dots + a_{10} = 6 \cdot 21 = 126.$

Сложим эти равенства. Числа $a_{5}$ и $a_{6}$ входят в обе суммы, поэтому

$42 + 126 = (a_{1} + \dots + a_{10}) + (a_{5} + a_{6}), a_{1} + \dots + a_{10} = 168 - (a_{5} + a_{6}) . (*)$

а) Нет, не может. Если $a_{1} = 5$ , то, так как числа натуральные и различные, $a_{2} ⩾ 6$ , $a_{3} ⩾ 7$ , $a_{4} ⩾ 8$ , $a_{5} ⩾ 9$ , $a_{6} ⩾ 10$ . Тогда

$42 = a_{1} + \dots + a_{6} ⩾ 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45$

— противоречие.

б) Нет, не может. Если среднее всех десяти чисел равно $16$ , то их сумма равна $160$ , и по $(*)$ $a_{5} + a_{6} = 168 - 160 = 8$ . Но различные натуральные числа удовлетворяют $a_{1} ⩾ 1$ , $a_{2} ⩾ 2$ , …, $a_{5} ⩾ 5$ , $a_{6} ⩾ 6$ , поэтому $a_{5} + a_{6} ⩾ 11 > 8$ — противоречие.

в) По $(*)$ среднее арифметическое всех чисел равно $\frac{168 - ( a _{5} + a _{6} )}{10}$ . Оно тем больше, чем меньше $a_{5} + a_{6}$ .

Оценка. Обозначим $x = a_{5}$ , $y = a_{6}$ , $x < y$ . Числа различные и целые, поэтому $a_{4} ⩽ x - 1$ , $a_{3} ⩽ x - 2$ , $a_{2} ⩽ x - 3$ , $a_{1} ⩽ x - 4$ . Подставим в сумму шести наименьших:

$42 = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + x + y ⩽ (4 x - 10) + x + y = 5 x + y - 10,$

то есть $5 x + y ⩾ 52$ .

Если $x ⩽ 8$ , то $x + y = (5 x + y) - 4 x ⩾ 52 - 4 \cdot 8 = 20$ .

Если $x ⩾ 9$ , то $y ⩾ x + 1$ и $x + y ⩾ 2 x + 1 ⩾ 19$ .

В обоих случаях $a_{5} + a_{6} ⩾ 19$ , и по $(*)$ сумма всех чисел не больше $168 - 19 = 149$ , а среднее арифметическое не больше $\frac{149}{10} = 14, 9$ .

Пример. Возьмём числа

$2, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 26, 27, 29.$

Они натуральные и различные. Шесть наименьших: $2 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 42$ , среднее $7$ . Шесть наибольших: $9 + 10 + 25 + 26 + 27 + 29 = 126$ , среднее $21$ . Сумма всех чисел $149$ , среднее $14, 9$ .

Значит, наибольшее значение среднего арифметического равно $14, 9$ .

Ответ: а) нет; б) нет; в) $14, 9$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20