ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Последняя цифра суммы определяется последними цифрами слагаемых. Пусть на доске $k$ чисел, оканчивающихся на $8$, и $30-k$ чисел, оканчивающихся на $4$. Тогда последняя цифра суммы совпадает с последней цифрой числа

$$4(30-k)+8k=120+4k,$$

то есть с последней цифрой числа $4k$. Сумма $2786$ оканчивается на $6$.

а) Нет, не может. Если чисел каждого вида поровну, то их по $15$, и последняя цифра суммы совпадает с последней цифрой числа $15\cdot 4+15\cdot 8=180$, то есть равна $0$. А $2786$ оканчивается на $6$ — противоречие.

б) Нет, не может. Тогда на $4$ оканчиваются $26$ различных чисел, и их сумма не меньше суммы $26$ наименьших таких чисел $4,14,24,\dots ,254$. Это арифметическая прогрессия с разностью $10$:

$$4+14+\dots +254=\frac{4+254}{2}\cdot 26=3354.$$

Четыре числа, оканчивающихся на $8$, дают не меньше $8+18+28+38=92$. Сумма всех чисел не меньше $3354+92=3446>2786$ — противоречие.

в) Оценка. Последняя цифра числа $4k$ должна быть равна $6$. Последняя цифра $4k$ зависит только от последней цифры $k$:

$$\begin{array}{ccccccccccc}\text{последняя цифра }k& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \text{последняя цифра }4k& 0& 4& 8& 2& 6& 0& 4& 8& 2& 6\end{array}$$

Значит, $k$ оканчивается на $4$ или на $9$: $k\in \{4,9,14,\dots \}$. Случай $k=4$ невозможен по пункту б). Следовательно, $k⩾9$.

Пример. На $8$ оканчиваются $9$ чисел $8,18,28,\dots ,88$, на $4$ — $21$ число: $4,14,24,\dots ,194$ и $374$. Всего $30$ различных чисел. Суммы:

$$8+18+\dots +88=\frac{8+88}{2}\cdot 9=432,4+14+\dots +194=\frac{4+194}{2}\cdot 20=1980.$$

Общая сумма $432+1980+374=2786$.

Значит, наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $8$, равно $9$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $9$.