ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Выпишем подходящие числа по возрастанию. Однозначные: $4,9$. Двузначные: $44,49,94,99$. Трёхзначные: $444,449,494,499,944,949,994,999$. Четырёхзначные и более длинные — не меньше $4444$.

Каждое такое число оканчивается на $4$ или на $9$, поэтому даёт остаток $4$ при делении на $5$.

а) Да, может:

$$4+9+94=107.$$

Числа различные и записаны только цифрами $4$ и $9$.

б) Нет, не может. Каждое слагаемое не больше суммы $289$, а все трёхзначные подходящие числа не меньше $444$. Значит, слагаемые выбраны из чисел $4,9,44,49,94,99$. Сумма всех шести равна

$$4+9+44+49+94+99=299.$$

Если выбранные числа дают в сумме $289$, то невыбранные из этих шести дают $299-289=10$. Но числа $44,49,94,99$ больше $10$, а из $4$ и $9$ получаются только суммы $4$, $9$ и $13$. Сумму $10$ получить нельзя — противоречие.

в) Оценка. Пусть на доске $k$ чисел. Каждое имеет вид $5q+4$, поэтому их сумма имеет вид $5Q+4k$ и даёт при делении на $5$ тот же остаток, что и $4k$. Число $3986=5\cdot 797+1$ даёт остаток $1$. Переберём остатки $k$ при делении на $5$:

$$\begin{array}{cccccc}k(\mathrm{mod}5)& 0& 1& 2& 3& 4\\ 4k(\mathrm{mod}5)& 0& 4& 3& 2& 1\end{array}$$

Остаток $1$ получается только при $k$, дающем остаток $4$, то есть $k\in \{4,9,14,\dots \}$.

Проверим $k=4$. Каждое число не больше $3986<4444$, поэтому все числа не более чем трёхзначные. Четыре наибольших таких числа дают

$$999+994+949+944=3886<3986,$$

так что четырёх чисел не хватит. Значит, $k⩾9$.

Пример. Девять чисел:

$$4+9+44+49+444+494+949+994+999=3986.$$

Проверим: $4+9+44+49=106$, $444+494=938$, $949+994+999=2942$, и $106+938+2942=3986$. Числа различные и состоят только из цифр $4$ и $9$.

Значит, наименьшее количество чисел равно $9$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $9$.