ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Заметим, что при каждом ходе сумма чисел увеличивается ровно на $1$:

$$(A+2)+(B-1)=A+B+1,(A-1)+(B+2)=A+B+1.$$

Вначале сумма равна $5+7=12$, поэтому после $t$ ходов она равна $12+t$.

а) Нет, нельзя. После $50$ ходов сумма чисел равна $12+50=62$. Оба числа натуральные, то есть не меньше $1$, поэтому каждое из них не больше $62-1=61<100$.

б) Сумма увеличивается ровно на $1$ за ход, поэтому сумма $400$ получится ровно после $400-12=388$ ходов, и никак иначе.

Покажем, что такую пару действительно можно получить. Сделаем два хода подряд:

$$(A,B)\to (A+2,B-1)\to (A+1,B+1).$$

За эти два хода каждое число увеличилось на $1$. Промежуточная пара натуральная: в начале каждой такой пары ходов второе число не меньше $7$, поэтому $B-1⩾6$. Повторим эту пару ходов $194$ раза:

$$(5,7)\to \dots \to (5+194,7+194)=(199,201).$$

Всего $2\cdot 194=388$ ходов, сумма $199+201=400$.

в) Рассмотрим разность $B-A$ («второе число минус первое»). При ходах она меняется так:

$$(B-1)-(A+2)=(B-A)-3,(B+2)-(A-1)=(B-A)+3.$$

Разность меняется на $3$, поэтому её остаток при делении на $3$ не меняется. Вначале $B-A=7-5=2$, значит, $B-A$ всегда даёт остаток $2$ при делении на $3$.

Оценка. Пусть сделано $t$ ходов и оба числа не больше $100$. Тогда их сумма $12+t⩽200$, то есть $t⩽188$. Если $t=188$, то сумма равна $200$, и это возможно только при $A=B=100$. Но тогда $B-A=0$ — остаток $0$, а не $2$. Значит, $t⩽187$.

Пример. Пара $(100,99)$ подходит по инварианту: $B-A=-1=3\cdot (-1)+2$, остаток $2$. Получим её за $187$ ходов. Повторим пару ходов из пункта б) $93$ раза:

$$(5,7)\to \dots \to (5+93,7+93)=(98,100)$$

— это $186$ ходов. Затем сделаем ещё один ход $(A+2,B-1)$:

$$(98,100)\to (100,99).$$

Всего $187$ ходов. По ходу дела числа не превышают $100$: перед последним повтором пара $(97,99)$ переходит в $(99,98)$ и затем в $(98,100)$, а раньше все числа ещё меньше.

Значит, наибольшее число ходов равно $187$.

Ответ: а) нет; б) за $388$ ходов; в) $187$.