ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Да, существуют. Возьмём $m=71$, $n=50$, тогда $\frac{m}{n}=1,42$. Неравенство $|1,42-\sqrt{2}|⩽0,01$ равносильно двойному неравенству

$$1,41⩽\sqrt{2}⩽1,43.$$

Все части положительны, поэтому его можно возвести в квадрат: $1,9881⩽2⩽2,0449$ — верно. Значит, числа $m=71$ и $n=50$ подходят.

б) Нет, не существуют. Умножим неравенство на $n^2>0$:

$$|m^2-2n^2|⩽\frac{n^2}{10000}.$$

Число $n$ двузначное, поэтому $n⩽99$ и $n^2⩽9801<10000$. Значит,

$$|m^2-2n^2|<1.$$

Но $m^2-2n^2$ — целое число, а единственное целое число, модуль которого меньше $1$, — это $0$. Получаем $m^2=2n^2$.

Такое равенство в натуральных числах невозможно. Разложим обе части на простые множители: в $m^2$ двойка входит в чётной степени (удвоенный показатель двойки в $m$), а в $2n^2$ — в нечётной (удвоенный показатель в $n$ плюс один). По единственности разложения числа $m^2$ и $2n^2$ не могут быть равны — противоречие.

в) Преобразуем выражение:

$$\left|\frac{n+10}{n}-\sqrt{2}\right|=\left|1+\frac{10}{n}-\sqrt{2}\right|=\left|\frac{10}{n}-(\sqrt{2}-1)\right|.$$

Это расстояние на числовой прямой между числом $\frac{10}{n}$ и числом $\sqrt{2}-1$. При увеличении $n$ дробь $\frac{10}{n}$ уменьшается. Найдём, где она «проходит» через $\sqrt{2}-1$.

При $n=24$: $1+\frac{10}{24}=\frac{17}{12}$, и $\frac{17}{12}>\sqrt{2}$, так как ${\left(\frac{17}{12}\right)}^2=\frac{289}{144}>\frac{288}{144}=2$. Значит, $\frac{10}{24}>\sqrt{2}-1$.

При $n=25$: $1+\frac{10}{25}=\frac{7}{5}$, и $\frac{7}{5}<\sqrt{2}$, так как ${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}<\frac{50}{25}=2$. Значит, $\frac{10}{25}<\sqrt{2}-1$.

Если $n⩽24$, то $\frac{10}{n}⩾\frac{10}{24}>\sqrt{2}-1$, и выражение равно $\frac{10}{n}-(\sqrt{2}-1)$. Оно уменьшается с ростом $n$, поэтому среди $n⩽24$ наименьшее значение только при $n=24$.

Если $n⩾25$, то $\frac{10}{n}⩽\frac{10}{25}<\sqrt{2}-1$, и выражение равно $(\sqrt{2}-1)-\frac{10}{n}$. Оно увеличивается с ростом $n$, поэтому среди $n⩾25$ наименьшее значение только при $n=25$.

Осталось сравнить значения при $n=24$ и $n=25$, то есть числа $\frac{17}{12}-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}-\frac{7}{5}$. Неравенство

$$\frac{17}{12}-\sqrt{2}<\sqrt{2}-\frac{7}{5}$$

равносильно неравенству

$$\frac{17}{12}+\frac{7}{5}<2\sqrt{2}\iff \frac{169}{60}<2\sqrt{2}.$$

Обе части положительны, возведём в квадрат: $\frac{28561}{3600}<8$, то есть $28561<28800$ — верно. Значит, при $n=24$ значение меньше, чем при $n=25$, и наименьшее значение выражения достигается только при $n=24$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $24$.