ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Общая сумма всех монет равна

$$S=2N+5(800-N)=4000-3N.$$

Пусть среди выбранных $300$ монет $t$ монет по $2$ рубля и $300-t$ монет по $5$ рублей. Их сумма

$$2t+5(300-t)=1500-3t$$

тем меньше, чем больше $t$: замена одной пятирублёвой монеты на двухрублёвую уменьшает сумму на $3$. Поэтому наименьшая сумма $300$ монет получается, когда двухрублёвых монет взято как можно больше, то есть $t=\min (N;300)$.

Значит, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда эта наименьшая сумма не меньше $\frac{S}{4}$: если неравенство верно для самого «дешёвого» набора, то для любого другого набора сумма только больше.

а) Да, может. При $N=200$ возьмём все $200$ двухрублёвых монет и $100$ пятирублёвых — это наименьшая возможная сумма:

$$200\cdot 2+100\cdot 5=900.$$

Общая сумма $S=4000-3\cdot 200=3400$, её четверть равна $850$. Так как $900⩾850$, любые $300$ монет дают не меньше $900⩾850$ рублей, и условие выполнено.

б) Нет, не может. При $N=400$ возьмём $300$ двухрублёвых монет: их сумма $600$. Общая сумма $S=4000-3\cdot 400=2800$, её четверть равна $700$. Так как $600<700$, условие нарушено.

в) Рассмотрим два случая.

Пусть $1⩽N⩽300$. Тогда в самом дешёвом наборе $N$ двухрублёвых и $300-N$ пятирублёвых монет, его сумма $1500-3N$. Условие:

$$1500-3N⩾\frac{4000-3N}{4}\iff 6000-12N⩾4000-3N\iff 9N⩽2000\iff N⩽222\frac{2}{9}.$$

Так как $N$ целое, подходят $N=1,2,\dots ,222$ — это $222$ значения.

Пусть $300<N⩽799$. Тогда самый дешёвый набор — $300$ двухрублёвых монет, его сумма $600$. Условие:

$$600⩾\frac{4000-3N}{4}\iff 2400⩾4000-3N\iff 3N⩾1600\iff N⩾533\frac{1}{3}.$$

Подходят $N=534,535,\dots ,799$ — это $799-534+1=266$ значений.

Всего подходящих значений $222+266=488$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $488$.