ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Сумма всех монет равна

$$14\cdot 2+27\cdot 5=28+135=163\text{рубля}.$$

а) Да, можно. Возьмём $13$ монет по $2$ рубля и все $27$ монет по $5$ рублей:

$$13\cdot 2+27\cdot 5=26+135=161.$$

б) Нет, нельзя. Если набрать $162$ рубля, то оставшиеся монеты дадут в сумме $163-162=1$ рубль. Но оставшиеся монеты либо отсутствуют (сумма $0$), либо среди них есть монета не меньше $2$ рублей (сумма не меньше $2$). Сумма $1$ рубль невозможна — противоречие.

в) Оценка. Пусть добавили $k$ монет по $1$ рублю. Тогда сумма всех монет равна $163+k$, а чтобы набрать $167$ рублей, нужно $163+k⩾167$, то есть $k⩾4$.

Пример. Покажем, что $4$ монет по $1$ рублю достаточно. Разобьём все монеты на две группы:

• первая группа: $26$ монет по $5$ рублей и $10$ монет по $2$ рубля;
• вторая группа: $1$ монета в $5$ рублей, $4$ монеты по $2$ рубля и $4$ монеты по $1$ рублю.

Из первой группы можно набрать любую сумму, кратную $10$, от $0$ до $150$. Действительно, $26$ пятирублёвых монет разбиваются на $13$ пар по $10$ рублей, а $10$ двухрублёвых — на $2$ пачки по пять монет, тоже по $10$ рублей. Получаем $15$ «десяток», и сумму $10q$ при $0⩽q⩽15$ набираем, беря $q$ из них.

Из второй группы можно набрать любую сумму от $0$ до $17$. Сначала из трёх двухрублёвых и четырёх рублёвых монет получаем любую сумму от $1$ до $10$:

$$1=1,2=2,3=2+1,4=2+2,5=2+2+1,$$

$$6=2+2+2,7=2+2+2+1,8=2+2+2+1+1,$$

$$9=2+2+2+1+1+1,10=2+2+2+1+1+1+1.$$

При этом не использованы ещё одна монета в $2$ рубля и монета в $5$ рублей. Добавим их к каждой из сумм $0,1,\dots ,10$ — получим все суммы от $7$ до $17$. Итого из второй группы набирается любая сумма от $0$ до $17$.

Теперь возьмём любое $N$ от $1$ до $167$. Если $N⩽17$, набираем его из второй группы. Если $18⩽N⩽167$, среди десяти последовательных чисел $8,9,\dots ,17$ найдётся число $r$ с той же последней цифрой, что и у $N$. Тогда $N-r$ делится на $10$ и

$$1=18-17⩽N-r⩽167-8=159,$$

то есть $N-r=10q$, где $1⩽q⩽15$. Сумму $10q$ набираем из первой группы, сумму $r$ — из второй. Группы не пересекаются, поэтому $N$ набирается.

Значит, наименьшее количество рублёвых монет равно $4$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $4$.