Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2027 развёрнутое

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.

В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается $10 a + 4 b + c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.

В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом. Если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_{1}, b_{1}$ и $c_{1},$ а у спортсмена-2 — $a_{2}, b_{2}$ и $c_{2},$ то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:

– $a_{1} > a_{2},$

– $a_{1} = a_{2}$ и $b_{1} > b_{2},$

– $a_{1} = a_{2}, b_{1} = b_{2}$ и $c_{1} > c_{2} .$

Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.

a) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?

б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше $p .$ Найдите наибольшее возможное значение $p .$

в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средним арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

На каждом этапе разыгрываются ровно одно первое, одно второе и одно третье место. За $10$ этапов всего $10$ первых, $10$ вторых и $10$ третьих мест. Поэтому сумма очков всех спортсменов всегда одна и та же:

$10 \cdot 10 + 4 \cdot 10 + 1 \cdot 10 = 150.$

Кроме того, на одном этапе спортсмен занимает не больше одного места, поэтому всего у каждого спортсмена не больше $10$ призовых мест. В примерах ниже мы приводим и итоговую таблицу, и распределение мест по этапам — так видно, что пример действительно можно осуществить. Первое, второе и третье места обозначим I, II, III.

а) Да, может. Пример — итоговая таблица:

$№ 12 3 - 9 10 I 0211 II 10000 III 0310 Очки 40231110$

Здесь строка « $3$ – $9$ » означает, что у каждого из спортсменов с номерами $3, 4, \dots, 9$ по одному первому и по одному третьему месту. Всего первых мест $0 + 2 + 7 + 1 = 10$ , вторых $10$ , третьих $3 + 7 = 10$ . Распределение по этапам (в клетках — номера спортсменов):

$Этап I II III 121322143312441255126615771688179918101019$

На каждом этапе места заняли три разных спортсмена.

По правилам этого года у спортсмена $1$ больше всех очков ( $40$ ), и он такой один; меньше всех очков ( $10$ ) только у спортсмена $10$ . По правилам прошлого года сначала сравнивают число первых мест: только у спортсмена $2$ их два — у него единственный наивысший рейтинг; только у спортсмена $1$ первых мест нет — у него единственный наименьший рейтинг. Все условия выполнены, и спортсмен $1$ , лучший в этом году, по расчётам прошлого года худший.

б) Оценка. Упорядочим очки по возрастанию: $s_{1} < s_{2} < \dots < s_{10}$ (одинаковых нет). Очки — целые неотрицательные числа. Пусть все разности не меньше некоторого $p > 3$ . Тогда соседние числа отличаются хотя бы на $p$ , а значит, хотя бы на $4$ (разность целая и больше $3$ ). Получаем $s_{1} ⩾ 0$ , $s_{2} ⩾ 4$ , $s_{3} ⩾ 8$ , …, $s_{10} ⩾ 36$ , и сумма очков

$s_{1} + \dots + s_{10} ⩾ 0 + 4 + 8 + \dots + 36 = 4 \cdot (0 + 1 + \dots + 9) = 180 > 150$

— противоречие. Значит, $p ⩽ 3$ .

Пример. Итоговая таблица:

$№ 12345678910 I 3221110000 II 2202102100 III 0010121230 Очки 3828211815129630$

Первых мест $3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10$ , вторых $2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10$ , третьих $1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 = 10$ . Распределение по этапам:

$Этап I II III 11232125314642785278631973198456954710689$

Очки всех спортсменов различны, соседние значения $38, 28, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0$ отличаются на $10, 7, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3$ , то есть хотя бы на $3$ . Разность несоседних значений — сумма нескольких соседних разностей, она тем более не меньше $3$ . Значит, $p = 3$ достигается, и наибольшее значение $p$ равно $3$ .

в) Оценка. Пусть $T$ — сумма очков пяти лучших спортсменов, $L$ — сумма очков пяти худших. Тогда $T + L = 150$ , а искомая разница средних равна $\frac{T - L}{5}$ .

Пусть $x$ — очки лучшего из пяти худших (пятое значение снизу). Пять худших имеют различные целые очки, не большие $x$ , поэтому

$L ⩽ x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) = 5 x - 10.$

Пять лучших имеют различные целые очки, большие $x$ , поэтому

$T ⩾ (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) = 5 x + 15.$

Если $x ⩽ 14$ , то $L ⩽ 5 \cdot 14 - 10 = 60$ . Если $x ⩾ 15$ , то $T ⩾ 5 \cdot 15 + 15 = 90$ и $L = 150 - T ⩽ 60$ . В обоих случаях $L ⩽ 60$ , тогда $T = 150 - L ⩾ 90$ и

$\frac{T - L}{5} ⩾ \frac{90 - 60}{5} = 6.$

Пример. Итоговая таблица:

$№ 12345678910 I 2110111111 II 0224110000 III 2100103210 Очки 22191816151413121110$

Первых мест $2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10$ , вторых $2 + 2 + 4 + 1 + 1 = 10$ , третьих $2 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 = 10$ . Распределение по этапам:

$Этап I II III 112721423241434555316647772888399957101068$

Все очки различны. Сумма очков пяти лучших $22 + 19 + 18 + 16 + 15 = 90$ , пяти худших $14 + 13 + 12 + 11 + 10 = 60$ , разница средних

$\frac{90}{5} - \frac{60}{5} = 18 - 12 = 6.$

Значит, наименьшая возможная разница равна $6$ .

Ответ: а) да; б) $3$ ; в) $6$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20