Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2026 развёрнутое

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $\frac{5}{17}$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $\frac{1}{3}$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

a) Могло ли быть в группе 11 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и 6?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Введём обозначения: в группе $B$ мальчиков и $G$ девочек; театр посетили $x$ мальчиков и $g_{1}$ девочек, кино — $y$ мальчиков и $g_{2}$ девочек. Ясно, что $g_{1} ⩽ G$ и $g_{2} ⩽ G$ . Каждый мальчик был в театре или в кино (или и там, и там), поэтому при подсчёте $x + y$ каждый мальчик учтён хотя бы один раз:

$B ⩽ x + y .$

Перепишем условия на доли. Для театра:

$\frac{x}{x + g _{1}} ⩽ \frac{5}{17} \Leftrightarrow 17 x ⩽ 5 x + 5 g_{1} \Leftrightarrow 12 x ⩽ 5 g_{1} .$

Для кино:

$\frac{y}{y + g _{2}} ⩽ \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3 y ⩽ y + g_{2} \Leftrightarrow 2 y ⩽ g_{2} .$

Отсюда

$x ⩽ \frac{5 g _{1}}{12} ⩽ \frac{5 G}{12}, y ⩽ \frac{g _{2}}{2} ⩽ \frac{G}{2} . (*)$

а) Да, могло. Пример: $5$ мальчиков сходили только в театр, $6$ мальчиков — только в кино, а $13$ девочек сходили и в театр, и в кино. Всего $5 + 6 + 13 = 24$ учащихся, из них $11$ мальчиков. Проверим условия:

$\frac{5}{5 + 13} = \frac{5}{18} < \frac{5}{17}, \frac{6}{6 + 13} = \frac{6}{19} < \frac{6}{18} = \frac{1}{3} .$

б) Оценка. Пусть мальчиков $12$ или больше. Тогда девочек $G ⩽ 24 - 12 = 12$ . По $(*)$

$x ⩽ \frac{5 \cdot 12}{12} = 5, y ⩽ \frac{12}{2} = 6.$

Тогда $B ⩽ x + y ⩽ 11$ , то есть хотя бы один мальчик не был ни в театре, ни в кино — противоречие. Значит, мальчиков не больше $11$ .

Пример. Группа из пункта а): $24$ учащихся, из них $11$ мальчиков.

Значит, наибольшее количество мальчиков равно $11$ .

в) Оценка. Если $G = 0$ , то из $(*)$ $x = y = 0$ , и мальчиков тоже нет — группа пустая. Значит, $G > 0$ . Сложим неравенства $(*)$ :

$B ⩽ x + y ⩽ \frac{5 G}{12} + \frac{G}{2} = \frac{11 G}{12} .$

Тогда доля девочек в группе

$\frac{G}{B + G} ⩾ \frac{G}{\frac{11 G}{12} + G} = \frac{G}{\frac{23 G}{12}} = \frac{12}{23} .$

Пример. Пусть $5$ мальчиков сходили только в театр, $6$ мальчиков — только в кино, а $12$ девочек — и в театр, и в кино. Проверим условия:

$\frac{5}{5 + 12} = \frac{5}{17} ⩽ \frac{5}{17}, \frac{6}{6 + 12} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} ⩽ \frac{1}{3} .$

Доля девочек в этой группе равна

$\frac{12}{5 + 6 + 12} = \frac{12}{23} .$

Значит, наименьшая доля девочек равна $\frac{12}{23}$ .

Ответ: а) да; б) $11$ ; в) $\frac{12}{23}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20