ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Обозначим $D=8m-m^2$. Это знаменатель всех членов, поэтому $D\ne 0$. Найдём разность прогрессии:

$$d=a_2-a_1=\frac{D-13}{D}-\frac{D-7}{D}=-\frac{6}{D}.$$

Прогрессия убывающая, значит, $d<0$, то есть $-\frac{6}{D}<0$, откуда $D>0$:

$$8m-m^2>0\iff m(8-m)>0\iff 0<m<8.$$

а) Нет, не может. Если $m>9$, то $m>0$ и $8-m<0$, поэтому $D=m(8-m)<0$. Тогда $d=-\frac{6}{D}>0$, и прогрессия возрастает, а по условию она убывающая.

б) Пусть в прогрессии $n$ членов, $n⩾3$. По формуле $n$-го члена арифметической прогрессии

$$a_n=a_1+(n-1)d=\frac{D-7}{D}-\frac{6(n-1)}{D}=\frac{D-6n-1}{D}.$$

По условию $a_n=\frac{-12}{D}$, поэтому числители равны:

$$D-6n-1=-12\iff D=6n-11.$$

Выделим полный квадрат: $D=8m-m^2=16-(m-4{)}^2⩽16$. Получаем условие

$$(m-4{)}^2=16-D=27-6n.(\ast )$$

Если $n=5$, то $(m-4{)}^2=27-30=-3<0$, а квадрат не может быть отрицательным. Значит, ровно $5$ членов в прогрессии быть не может.

в) Из $(\ast )$ следует $27-6n⩾0$, то есть $n⩽4,5$. Вместе с условием $n⩾3$ остаются два случая.

Если $n=3$, то $D=6\cdot 3-11=7$, то есть $m^2-8m+7=0$, откуда $m=1$ или $m=7$. Оба значения лежат в промежутке $(0;8)$, так что случай возможен. Члены прогрессии:

$$a_1=\frac{7-7}{7}=0,a_2=\frac{7-13}{7}=-\frac{6}{7},a_3=-\frac{12}{7}.$$

Сумма:

$$S_3=\frac{a_1+a_3}{2}\cdot 3=\frac{0-\frac{12}{7}}{2}\cdot 3=-\frac{18}{7}.$$

Если $n=4$, то $D=6\cdot 4-11=13$, то есть $m^2-8m+13=0$, откуда $m=4\pm \sqrt{3}$. Так как $0<\sqrt{3}<4$, оба значения лежат в промежутке $(0;8)$, и случай возможен. Члены прогрессии:

$$a_1=\frac{13-7}{13}=\frac{6}{13},a_2=0,a_3=-\frac{6}{13},a_4=-\frac{12}{13}.$$

Сумма:

$$S_4=\frac{a_1+a_4}{2}\cdot 4=\left(\frac{6}{13}-\frac{12}{13}\right)\cdot 2=-\frac{12}{13}.$$

Ответ: а) нет; б) нет; в) $-\frac{18}{7}$ и $-\frac{12}{13}$.