ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Среднее арифметическое $k$ чисел целое тогда и только тогда, когда их сумма делится на $k$. Значит, по условию сумма любых $k$ записанных чисел делится на $k$ при $k=3,4,5,6$.

Ключевой факт. Все числа на доске дают одинаковые остатки при делении на $k$ для каждого $k=3,4,5,6$.

Докажем это. Возьмём любые два числа $a$ и $b$ с доски. Кроме них на доске ещё $8$ чисел; выберем из них любые $k-1$ чисел (это возможно, так как $k-1⩽5$), обозначим их сумму через $C$. Суммы $a+C$ и $b+C$ — это суммы $k$ записанных чисел, поэтому обе делятся на $k$. Тогда и их разность

$$(a+C)-(b+C)=a-b$$

делится на $k$, то есть $a$ и $b$ дают одинаковые остатки при делении на $k$.

Разность любых двух чисел делится на $3$, $4$ и $5$, а значит, и на их наименьшее общее кратное $60$. Поскольку на доске есть число $30035=60\cdot 500+35$, все числа на доске дают остаток $35$ при делении на $60$. Отсюда:

• при делении на $3$ все числа дают остаток $2$ (так как $35=3\cdot 11+2$);
• при делении на $4$ — остаток $3$ (так как $35=4\cdot 8+3$);
• при делении на $5$ — остаток $0$.

Верно и обратное: если все десять чисел имеют вид $35+60j$, то сумма любых $k$ из них равна $35k+60M$ для некоторого целого $M$. При $k=3,4,5,6$ число $60$ делится на $k$, поэтому вся сумма делится на $k$, и условие задачи выполнено.

а) Нет, не может. Число $30035$ даёт остаток $3$ при делении на $4$, а $325=4\cdot 81+1$ — остаток $1$. По ключевому факту такие числа не могут оказаться на доске вместе.

б) Нет, не может. Пусть на доске есть числа $a$ и $7a$. Число $a$ даёт остаток $3$ при делении на $4$, тогда $7a$ даёт тот же остаток, что и $7\cdot 3=21$, то есть остаток $1$. Но все числа на доске дают остаток $3$ — противоречие.

в) Оценка. Пусть на доске записаны числа $a$ и $na$, где $n$ — целое. Числа различны, поэтому $n\ne 1$, и, деля большее на меньшее, получаем $n⩾2$.

Числа $a$ и $na$ дают одинаковые остатки при делении на $3$ и на $4$, поэтому разность

$$na-a=(n-1)a$$

делится на $3$ и на $4$.

Число $a$ даёт остаток $2$ при делении на $3$, то есть на $3$ не делится. Поскольку $3$ — простое число, на $3$ делится $n-1$.

Число $a$ даёт остаток $3$ при делении на $4$, то есть оно нечётное и взаимно просто с $4$. Поэтому на $4$ делится $n-1$.

Итак, $n-1$ делится на $12$, а так как $n-1⩾1$, получаем $n-1⩾12$, то есть $n⩾13$. Например, $n=2,5,11$ не подходят из-за остатков при делении на $3$, $n=3,4,6,8,9,12$ — потому что тогда $na$ делилось бы на $3$ или на $4$, а $n=7,10$ — из-за остатков при делении на $4$.

Пример. Возьмём числа

$$35,95,155,215,275,335,395,455,515,30035.$$

Это десять различных натуральных чисел вида $35+60j$, среди них есть $30035$. По доказанному выше среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести из них целое. При этом $455=13\cdot 35$, то есть отношение двух чисел равно $13$.

Значит, наименьшее возможное значение $n$ равно $13$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $13$.