ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию: $a_1<a_2<\dots <a_{50}$. Сумма любых трёх чисел набора не меньше суммы трёх наименьших $a_1+a_2+a_3$, а сумма любых пяти чисел не больше суммы пяти наибольших $a_{46}+a_{47}+a_{48}+a_{49}+a_{50}$. Поэтому условие задачи равносильно одному неравенству

$$a_1+a_2+a_3>a_{46}+a_{47}+a_{48}+a_{49}+a_{50}.(\ast )$$

Действительно, $(\ast )$ — частный случай условия: берём три наименьших и пять наибольших чисел. И наоборот, если $(\ast )$ верно, то для любой тройки и любой пятёрки

$$\text{сумма пятёрки}⩽a_{46}+\dots +a_{50}<a_1+a_2+a_3⩽\text{сумма тройки}.$$

Итак, чтобы проверить набор, достаточно проверить неравенство $(\ast )$.

а) Да, может. Пример: $50$ последовательных целых чисел $-300,-299,\dots ,-252,-251$. Среди них есть $-300$. Сумма трёх наименьших:

$$-300+(-299)+(-298)=-897.$$

Сумма пяти наибольших:

$$-255+(-254)+(-253)+(-252)+(-251)=-1265.$$

Так как $-1265<-897$, неравенство $(\ast )$ выполнено, и набор подходит.

б) Да, может. Пример: $49$ последовательных чисел $-500,-499,\dots ,-453,-452$ и число $300$. Всего $50$ различных целых чисел. Сумма трёх наименьших:

$$-500+(-499)+(-498)=-1497.$$

Сумма пяти наибольших:

$$-455+(-454)+(-453)+(-452)+300=-1514.$$

Так как $-1514<-1497$, неравенство $(\ast )$ выполнено, и набор подходит.

в) Оценка. Обозначим $t=a_{46}$. Числа целые и различные, поэтому каждое следующее хотя бы на $1$ больше предыдущего. Отсюда

$$a_{45}⩽t-1,a_{44}⩽t-2,\dots ,a_1⩽t-45;a_{47}⩾t+1,a_{48}⩾t+2,a_{49}⩾t+3,a_{50}⩾t+4.$$

В частности, $a_1+a_2+a_3⩽(t-45)+(t-44)+(t-43)=3t-132$, а $a_{46}+\dots +a_{50}⩾5t+10$. Подставим это в $(\ast )$:

$$5t+10⩽a_{46}+\dots +a_{50}<a_1+a_2+a_3⩽3t-132.$$

Отсюда $2t<-142$, $t<-71$, а так как $t$ целое, $t⩽-72$.

Теперь оценим сумму всех чисел по частям. Первые $46$ чисел:

$$a_1+a_2+\dots +a_{46}⩽(t-45)+(t-44)+\dots +t=46t-(0+1+\dots +45)=46t-1035.$$

Последние четыре числа: из $(\ast )$

$$a_{47}+a_{48}+a_{49}+a_{50}<(a_1+a_2+a_3)-a_{46}⩽(3t-132)-t=2t-132,$$

а так как слева целое число, $a_{47}+\dots +a_{50}⩽2t-133$.

Сложим:

$$a_1+\dots +a_{50}⩽46t-1035+2t-133=48t-1168.$$

Правая часть возрастает по $t$, а $t⩽-72$, поэтому

$$a_1+\dots +a_{50}⩽48\cdot (-72)-1168=-3456-1168=-4624.$$

Пример. Возьмём $46$ последовательных чисел $-117,-116,\dots ,-73,-72$ и ещё четыре числа $-71,-70,-69,-67$. Это $50$ различных целых чисел; здесь все оценки выше обращаются в равенства. Проверим $(\ast )$. Сумма трёх наименьших:

$$-117+(-116)+(-115)=-348.$$

Сумма пяти наибольших:

$$-72+(-71)+(-70)+(-69)+(-67)=-349.$$

Так как $-349<-348$, набор подходит. Его сумма:

$$\frac{(-117+(-72))\cdot 46}{2}+(-71-70-69-67)=-4347-277=-4624.$$

Значит, наибольшая возможная сумма равна $-4624$.

Ответ: а) да; б) да; в) $-4624$.