ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Число, которое оканчивается на $7$, нечётно. Поэтому на доске числа двух видов: чётные и нечётные (оканчивающиеся на $7$). Обозначим через $k$ количество чисел, оканчивающихся на $7$.

Сумма чётных чисел чётна, а сумма $k$ нечётных чисел имеет ту же чётность, что и $k$. Сумма всех чисел $810$ чётна, значит, $k$ чётно.

Ещё одна оценка пригодится дальше: сумма $m$ различных натуральных чётных чисел не меньше суммы $m$ наименьших чётных чисел:

$$2+4+\dots +2m=2\cdot \frac{m(m+1)}{2}=m(m+1).$$

а) Да, может. Пример: $24$ чётных числа $2,4,6,\dots ,46,66$ и $6$ чисел $7,17,27,37,47,57$.

Проверим условия. Всего чисел $24+6=30$, все они различны (чётные не совпадают с нечётными), каждое чётно или оканчивается на $7$. Сумма чётных:

$$2+4+\dots +46+66=23\cdot 24+66=552+66=618.$$

Сумма чисел, оканчивающихся на $7$:

$$7+17+27+37+47+57=\frac{(7+57)\cdot 6}{2}=192.$$

Всего $618+192=810$. Ровно $24$ числа чётные.

б) Нет, не может. Если на $7$ оканчиваются ровно два числа, то остальные $28$ чисел чётные и различные. Их сумма не меньше

$$2+4+\dots +56=28\cdot 29=812>810,$$

а ведь к ней ещё прибавляются два положительных числа. Сумма всех чисел больше $810$ — противоречие.

в) Оценка. Мы уже знаем, что $k$ чётно. Разберём малые значения.

Если $k=0$, то все $30$ чисел чётные, и их сумма не меньше $2+4+\dots +60=30\cdot 31=930>810$ — противоречие.

Если $k=2$, получаем противоречие по пункту б).

Значит, $k⩾4$.

Пример. Числа $7,17,27,37$ и $26$ чётных чисел $2,4,\dots ,50,72$. Всего $4+26=30$ различных чисел, каждое чётно или оканчивается на $7$. Сумма:

$$(7+17+27+37)+(2+4+\dots +50)+72=88+25\cdot 26+72=88+650+72=810.$$

На $7$ оканчиваются ровно четыре числа, поэтому наименьшее их количество равно $4$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $4$.