ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Обозначим через $S(n)$ сумму цифр числа $n$. За один ход число $n$ превращается либо в $n+3S(n)$, либо в $n-3S(n)$, причём результат должен остаться натуральным.

Сначала найдём величину, которая при ходах не меняется. Разность нового и старого числа равна $\pm 3S(n)$ — это число, кратное $3$. Если разность двух чисел делится на $3$, то эти числа дают одинаковые остатки при делении на $3$. Значит, при каждом ходе остаток от деления на $3$ сохраняется, а потому все числа, которые получаются из $128$, дают тот же остаток при делении на $3$, что и само $128$:

$$128=3\cdot 42+2,$$

то есть остаток $2$.

а) Да, можно. Три раза вычтем утроенную сумму цифр:

$$128\stackrel{-3\cdot 11}{\to }95\stackrel{-3\cdot 14}{\to }53\stackrel{-3\cdot 8}{\to }29.$$

Проверим каждый шаг: $S(128)=1+2+8=11$ и $128-33=95$; $S(95)=9+5=14$ и $95-42=53$; $S(53)=5+3=8$ и $53-24=29$. Все полученные числа натуральные, так что $29$ из $128$ получить можно.

б) Нет, нельзя. Все числа, получаемые из $128$, дают остаток $2$ при делении на $3$. А число $31=3\cdot 10+1$ даёт остаток $1$. Другими словами, разность $128-31=97$ должна была бы делиться на $3$, но $97$ на $3$ не делится.

в) Оценка. Каждое полученное число натуральное и даёт остаток $2$ при делении на $3$. Натуральные числа с таким остатком — это $2,5,8,\dots$, поэтому полученное число не меньше $2$. В частности, число $1$ получить нельзя: $128-1=127$ не делится на $3$.

Пример. Покажем, что число $2$ получить можно. Запишем каждый ход в таблицу: само число, сумму его цифр, что делаем и что получаем.

$$\begin{array}{cccc}n& S(n)& \text{действие}& \text{результат}\\ 128& 11& -33& 95\\ 95& 14& -42& 53\\ 53& 8& -24& 29\\ 29& 11& +33& 62\\ 62& 8& -24& 38\\ 38& 11& -33& 5\\ 5& 5& +15& 20\\ 20& 2& +6& 26\\ 26& 8& -24& 2\end{array}$$

Короче цепочка выглядит так:

$$128\to 95\to 53\to 29\to 62\to 38\to 5\to 20\to 26\to 2.$$

Все числа в ней натуральные, каждый ход разрешён. Значит, наименьшее число, которое можно получить, равно $2$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $2$.