Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n. а) Существует… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2025 развёрнутое

Пусть $S (n)$ обозначает сумму цифр натурального числа $n$ .

а) Существует ли такое число $n$ , что $2 n + S (n) = 2026$ ?

б) Существует ли такое число $n$ , что $4 n + S (n) = 2026$ ?

в) Для какого наименьшего натурального числа $k$ найдётся хотя бы одно такое двузначное число $n$ , что $9 k n + S (n) = 10542$ ?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Нам понадобится известный факт: число $n$ и сумма его цифр $S (n)$ дают одинаковые остатки при делении на $9$ , а значит, и на $3$ . Действительно, если $n = a_{k} \dots a_{1} a_{0}$ , то

$n - S (n) = a_{1} (10 - 1) + a_{2} (100 - 1) + \dots + a_{k} (1 0^{k} - 1),$

а каждое число $1 0^{m} - 1 = 99 \dots 9$ делится на $9$ .

а) Нет, не существует. Так как $S (n)$ даёт тот же остаток при делении на $3$ , что и $n$ , число $2 n + S (n)$ даёт тот же остаток, что и $2 n + n = 3 n$ , то есть делится на $3$ . А сумма цифр числа $2026$ равна $10$ , и $2026$ на $3$ не делится. Противоречие.

б) Нет, не существует. Так как $S (n) ⩾ 1$ , имеем $4 n < 2026$ , то есть $n ⩽ 506$ . У чисел не больше $506$ сумма цифр не больше $22$ (наибольшая — у $499$ : $4 + 9 + 9 = 22$ ). Тогда

$4 n = 2026 - S (n) ⩾ 2026 - 22 = 2004, n ⩾ 501.$

Осталось проверить $n = 501, \dots, 506$ :

$n 4 n + S (n) 501 2004 + 6 = 2010 502 2008 + 7 = 2015 503 2012 + 8 = 2020 504 2016 + 9 = 2025 505 2020 + 10 = 2030 506 2024 + 11 = 2035$

Ни одно значение не равно $2026$ .

в) Оценка. Слагаемое $9 k n$ делится на $9$ , поэтому $S (n)$ даёт при делении на $9$ тот же остаток, что и $10542$ . Сумма цифр $10542$ равна $12$ , остаток $3$ . У двузначного числа $1 ⩽ S (n) ⩽ 18$ , поэтому $S (n) = 3$ или $S (n) = 12$ .

$S (n) = 3$ . Тогда $9 k n = 10539$ , $k n = 1171$ . Двузначные числа с суммой цифр $3$ : $12, 21, 30$ — все делятся на $3$ , а $1171$ на $3$ не делится (сумма цифр $10$ ). Ни одно не подходит.
$S (n) = 12$ . Тогда $9 k n = 10530$ , $k n = 1170 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 13$ . Двузначные числа с суммой цифр $12$ : $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ . Делителем $1170$ из них является только $39 = 3 \cdot 13$ : числа $48$ и $84$ делятся на $4$ , $57 = 3 \cdot 19$ , $66 = 6 \cdot 11$ , $75 = 3 \cdot 5^{2}$ , $93 = 3 \cdot 31$ содержат множители, которых нет в $1170$ . Значит, $n = 39$ и $k = \frac{1170}{39} = 30$ .

Итак, условие возможно только при $k = 30$ , поэтому меньшего $k$ нет.

Пример. $k = 30$ , $n = 39$ : $9 \cdot 30 \cdot 39 + 12 = 10530 + 12 = 10542$ .

Ответ: а) нет; б) нет; в) $30$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20