ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Всего денег $16\cdot 2+31\cdot 5=32+155=187$ рублей. Если монеты на сумму $t$ рублей взяты, то оставшиеся монеты дают $187-t$ рублей.

а) Да, можно. Возьмём $15$ монет по $2$ рубля и все $31$ монету по $5$ рублей:

$$15\cdot 2+31\cdot 5=30+155=185.$$

б) Нет, нельзя. Если набрать $186$ рублей, то оставшиеся монеты дадут $187-186=1$ рубль. Но каждая монета не меньше $2$ рублей, и набрать ровно $1$ рубль нельзя.

То же можно увидеть по чётности: сумма $186$ чётна, а монеты по $2$ рубля дают чётную сумму, поэтому пятирублёвых монет должно быть чётное число, то есть не больше $30$. Тогда наибольшая возможная сумма $30\cdot 5+16\cdot 2=182<186$.

в) Оценка. Чтобы набрать $190$ рублей, всех монет вместе должно быть хотя бы на $190$ рублей, то есть рублёвых монет нужно не меньше $190-187=3$.

Пример. Покажем, что трёх рублёвых монет хватает. Теперь всего $190$ рублей, разложим все монеты на $19$ кучек по $10$ рублей:

• $30$ монет по $5$ рублей — в $15$ кучек по две монеты;
• $15$ монет по $2$ рубля — в $3$ кучки по пять монет;
• оставшиеся одна монета $5$ рублей, одна монета $2$ рубля и три монеты по $1$ рублю — в последнюю кучку: $5+2+1+1+1=10$.

Сумма $190$ — это все монеты. Любую сумму $S$ от $1$ до $189$ запишем как $S=10q+r$, где $0⩽q⩽18$ и $0⩽r⩽9$. Возьмём $q$ целых кучек из первых восемнадцати, а остаток $r$ наберём монетами последней кучки:

$$1=1,2=2,3=2+1,4=2+1+1,5=5,6=5+1,7=5+2,8=5+2+1,9=5+2+1+1.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $3$.